Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 296 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

296
§ 4. Элементы кинетической теории плазмы
(плазма в продольном электрическом поле;
плазменные колебания и затухание Ландау).
Рассмотрим функцию f (x, v, t), где x — координата, v — скорость
частицы, так что f d
3
xd
3
v — число частиц в области (x, x + dx), (v, v +
+ dv) фазового пространства. Она удовлетворяет закону сохранения
∂f
∂t
+
∂
∂x
k
(v
i
f) +
∂
∂v
k
(a
k
f) = 0 (12.14)
(см., например, [5]). В уравнении (12.14) нижние индексы обознача ют
декартовы компоненты, а суммирование ведется по k = 1, 2, 3 . Пусть
a(x, v, t) — ускорение частицы, имеющей в точке x скорость v, причем,
для частицы с массой m и зарядом e в электрическом поле E и магнитном
поле B
a =
e
m
E +
1
c
[vB(x, t)]
, (12.15)
где квадратные скобки означают векторное произведение. Для любого
ускорения, выражаемого формулой (12.15), ∂a
k
/∂v
k
= 0, поэтому уравне-
ние (12.14) можно переписать в виде :
∂f
∂t
+ v
k
∂f
∂x
k
+ a
k
∂f
∂v
k
= 0 , (12.16)
которое в литературе (см., например, [5]) называют уравнением Больц-
мана — Власова.
При статистическом подходе функция f должна быть гладкой, т.е.
дифференцируемой, функцией, которую будем обозначать
¯
f
1
. В данном
рассмотрении функция
¯
f имеет смысл только в применении к достаточ-
но большому объему фазового пространства d
3
x d
3
v, который содержит
очень большое число частиц. При этом
¯
f d
3
x d
3
v е сть среднее (а не точ-
ное) число частиц в этом объеме. Представляется разумным и выражение
для полей в формуле (12.15) заменить сглаженными функциями
¯
E(x, t)
¯
B(x, t). Тогда окончательно имеем :
∂
¯
f
∂t
+ v
k
∂
¯
f
∂x
k
+ ¯a
k
∂
¯
B
∂v
k
= 0 , (12.17)
1
При точном описании функция f(x, v, t) представляет собой совокупность δ — функ-
ций (по одной на каждую частицу). Ускорение a после учета собственного поля частицы
должно определятся действием полей всех остальных частиц и полем внешнего источни-
ка, если такой есть. Иными словами, уравнение (12.16) при таком рассмотрении пригодно
для решения задачи об определении траекторий частиц.

Страницы