Составители:
Рубрика:
351
квазилинейными. Они не содержат нелинейных функций относительно
производных. Будем называть характеристиками линии на плоскости xt,
ограничивающие так называемую область влияния. Если возмущение за-
дано на некоторой дуге AB в плоскости xt, то оно влияет на решение
u
i
(x , t) системы (14.45) л ишь в области, ограниченной характеристика-
ми, проходящими через точки A и B . Поскольку характеристика отде-
ляет возмущенную область от невозмущенной, то, задав все величины
u
i
вдоль характеристик (т. е. известны лишь ∂u
i
/∂s), невозможно с по-
мощью уравнений (14.45) однозначно определить нормальные к характе-
ристикам производные ∂u
i
/∂n. Исходя из этого будем искать уравнение
характеристик. Обозначая тангенс угла наклона характеристик к оси t
через V , выразим ∂u
i
/∂t и ∂u
i
/∂x через ∂u
i
/∂s и ∂u
i
/∂n:
∂u
i
∂t
=
1
V
2
+ 1
∂u
i
∂s
−
V
V
2
− 1
∂u
i
∂n
,
∂u
i
∂x
=
V
V
2
+ 1
∂u
i
∂s
+
1
V
2
+ 1
∂u
i
∂n
.
После подстановки этих производных в (14.45) имеем
n
X
k=1
(a
ik
− V δ
ik
)
∂u
k
∂n
= −
n
X
k=1
(V a
ik
+ δ
ik
)
∂u
k
∂s
− b
i
(u) . (14.46)
Это линейная неоднородная система относительно ∂u
k
/∂n с известной
правой частью. Чтобы из этих уравнений нельзя было определить ∂u
k
/∂n,
необходимо, чтобы определитель е е равнялся нулю:
Det (a
ik
− V δ
ik
) = 0 (14.47)
(δ
ik
— символ Кронекера). Это и е сть искомое уравнение для характе-
ристик. Поскольку это многочлен n-го порядка относительно V , найдем
наклон n семейств характеристик. Если система линейна и a
ik
не зависят
от u, то характеристики — это прямые линии на плоскости xt, наклон
которых равен V
l
, где V
l
, (l = 1 , 2 , . . . , n) — корни уравнения (14.47) .
Линеаризованная система (14.45) описывается дисперсионным урав-
нением
Det
a
ik
−
ω
k
δ
ik
−
1
k
b
ik
= 0 , b
ik
=
∂b
i
∂u
k
u=u
0
. (14.48)
Легко заметить, сравнивая (14.48) с (14.47), что в асимптотике при
k → ∞ наклон дисперсионных кривых совпадает с наклоном характери-
стик.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- …
- следующая ›
- последняя »
