Составители:
Рубрика:
367
Прибавим к левой части получившегося уравнения (15.2) слагаемое
V
2
u
x
u
xt
=
∂
∂t
(
1
2
u
2
x
) и отнимем в точности такое же. Легко видеть, что
−V
2
u
t
u
xx
− V
2
u
x
u
xt
= −V
2
∂
∂x
(u
t
u
x
) .
С учетом сделанных преобразований получаем уравнение, выражающее
закон сохранения энергии, в виде
∂
∂t
1
2
u
2
t
+
1
2
V
2
u
2
x
+
1
2
β
2
u
2
+
∂
∂x
−V
2
u
x
u
t
= 0 . (15.3)
где сумма
1
2
u
2
t
+
1
2
V
2
u
2
x
+
1
2
β
2
u
2
имеет смысл плотности энергии, а −V
2
u
x
u
t
— потока энергии.
Рассмотрим теперь группу волн (или, ка к часто говорят, волновой
пакет), медленно изменяющуюся в пространстве и во времени. Для такой
группы волн
u ∼ Re
Ae
iθ
= a cos(θ + η) (15.4)
где a = |A|, η = Arg A. Используя (15.4), вычисляем плотность энергии и
плотность потока энергии. Очевидно, что
u
t
∼ −iωa sin(θ + η) + a
t
cos(θ + η) − η
t
a sin(θ + η) .
тогда u
2
t
∼ ω
2
a
2
sin
2
(θ + η), поскольку из-за медленности изменения a и
η слагаемыми, содержащими a
t
и η
t
, можно пренебречь. В тех же при-
ближениях легко вычислить остальные слагаемые, входящие в плотность
энергии, что окончательно дает
1
2
u
2
t
+
1
2
V
2
u
2
x
+
1
2
β
2
u
2
∼
1
2
ω
2
+ V
2
k
2
a
2
sin
2
(θ + η) +
+
1
2
β
2
a
2
cos
2
(θ + η) , (15.5)
где учтено, что ∂θ/∂t = ω, а ∂θ/∂x = −k. Аналогично для плотности
потока энергии
V
2
u
x
u
t
∼ V
2
ωka
2
sin
2
(θ + η) . (15.6)
Если вместо (15.1) взять уравнение, которое содержит производные более
высокого порядка, то очевидно, что при их вычислении с учетом (15.4)
появятся дополнительные слагаемые, содержащие производные ω и k.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- …
- следующая ›
- последняя »
