Составители:
Рубрика:
368
Однако, поскольку мы рассматриваем медленно изменяющийся волновой
пакет, ω и k тоже медленно изменяются, и этими слагаемыми можно
пренебречь. Рассмотрим средние за период значения выражений (15.5)
и (15.6). Это оправданно: интересны заметные (средние) изменения ω,
k и a, а не мелкие осцилляции и их детали. Итак, для средних значе-
ний плотности энергии и плотности потока энергии в рамках сделанных
допущений получаем
E =
ω
2
+ V
2
k
2
a
2
4
+
β
2
a
2
4
, (15.7)
S = V
2
ωk
a
2
2
. (15.8)
Из (15.1) следует дисперсионное уравнение задачи
ω
2
= β
2
+ V
2
k
2
. (15.9)
С учетом (15.9) соотношения (15.7) и (15.8) принимают следующий окон-
чательный вид:
E =
β
2
+ V
2
k
2
a
2
2
, (15.10)
S = V
2
ωk
a
2
2
. (15.11)
По определению v
гр
= dω/dk, поэтому из (15.9) получаем
v
гр
=
V
2
k
p
V
2
k
2
+ β
2
. (15.12)
Из соотношений (15.10)–(15.12), используя (15.9), находим, что
v
гр
= E/S . (15.13)
Общность этого выражения уже отмечалась в гл. 13, Возвращаясь к (15.3)
и основываясь на (15.13), можно предположить, что закон сохранения
средней плотности энергии выражается дифференциальным уравнением
∂E
∂t
+
∂
∂x
v
гр
E
= 0 . (15.14)
В монографии [3] показано, что это уравнение соответствует ситуации,
когда полная энергия между двумя прямыми x−v
гр 1,2
t = const на плоско-
сти xt остается постоянной. Для доказательства рассмотрим выра жение
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- …
- следующая ›
- последняя »
