Составители:
Рубрика:
370
§ 2. Вариационный принцип Уизема [3].
Начнем с напоминаний необходимых для дальнейшего изложения неко-
торых сведений о вариационном исчислении. Вариационный принцип
δI = δ
ZZ
R
L
∂ϕ
∂t
,
∂ϕ
∂x
, ϕ
dt dx = 0 (15.19)
утверждает, что интеграл I[ϕ] по конечной области R должен быть ста-
ционарным при малых изменения функции ϕ. Как это понимать?
Рассмотрим две близк ие функции ϕ(x, t) и ϕ(x, t) + h(x, t), где h(x, t)
мало; обе функции считаются непрерывно дифференцируемыми, посколь-
ку в выражение (15.19) входят первые производные ∂ϕ/∂t = ϕ
t
и ∂ϕ/∂x =
= ϕ
x
. В монографии [3] малость функции h(x, t) измеряется нормой
khk = max |h| + max |h
t
| + max |h
x
|,
где ∂h/∂t = h
t
и ∂h/∂x = h
x
.
Обычно функция L довольно проста, и можно считать, что она имеет
ограниченные вторые производные. Разложим функцию L в ряд Тэйлора.
Тогда
I[ϕ + h] −I[ϕ] =
ZZ
R
L
ϕ
t
h
t
+ L
ϕ,j
h
x
j
+ L
ϕ
h
dtdx + O
khk
2
,
(15.20)
где ϕ, j означает ∂ϕ/∂x
j
. Вариационный принцип требует, чтобы первая
вариация δI[ϕ, h] (линейное по h выражение) была равна нулю для всех
допустимых функций h. Ограничимся функциям h, обращающимися в
нул ь на границе R. После интегрирования по частям и использования
теоремы о дивергенции получим
δI[ϕ, h] =
ZZ
R
−
∂
∂t
L
ϕ
t
−
∂
∂x
j
L
ϕ,j
+ L
ϕ
h dtdx . (15.21)
Потребуем , чтобы выражение (15.21) обращалось в нуль для всех таких
h. Из соображений непрерывности имеем уравнение
∂
∂t
L
ϕ
t
+
∂
∂x
j
L
ϕ,j
− L
ϕ
= 0 . (15.22)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- …
- следующая ›
- последняя »
