Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 369 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

369
для энергии
¯
E(t) =
x
2
(t)
Z
x
1
(t)
E dx , (15.15)
где x
1
и x
2
— точки, которые движутся со скоростями v
гр
(k
1
) и v
гр
(k
2
).
Очевидно, что
d
¯
E(t)
dt
=
x
2
(t)
Z
x
1
(t)
∂E
∂t
dx + v
гр
(k
2
)E
2
− v
гр
(k
1
)E
1
, (15.16)
причем эта величина, как следует из (15.14), равна нулю. Не менее оче-
видно, что (15.16) в пределе при x
2
− x
1
→ 0 превращается в (15.14).
Выражение для усредненной плотности энергии можно представить в
виде E = F (k)a
2
. Подставим это выражение в (15.14); тогда
F (k)
∂a
2
∂t
+
∂
∂x
v
гр
a
2
+
∂F
∂k
a
2
∂k
∂t
+ v
гр
∂k
∂x
= 0 .
Но, как показано в гл. 13, ∂k/∂t + v
гр
∂k/∂x = 0 , поэтому
∂a
2
∂t
+
∂
∂x
v
гр
a
2
= 0 . (15.17)
Полученные соотношения типа (15.14) и (15.17) легко распространить
на многомерные задачи. Такое обобщение для уравнения Клейна-Гордона
и уравнения
u
tt
− V
2
∇
2
u = β
2
∇
2
u
tt
приведено в [3]. Уравнение, характеризующее перенос усредненной плот-
ности энергии волновым пакетом в средах с заданной дисперсией, имеет
вид
∂E
∂t
+
∂
∂x
j
v
гр,j
E
= 0 или
∂a
2
∂t
+
∂
∂x
j
v
гр,j
a
2
= 0 . (15.18)
Изложенные результаты оставляют чувство неудовлетворенности от-
того, что они получены для конкретного уравнения. Дж. Уизем пока-
зал [3] справедливость “усредненного вариационного принципа” непо-
средственно для функций a(r, t) и θ(r, t), результатом применения ко-
торого является уравнение (15.18).

Страницы