Составители:
Рубрика:
371
Когда L содержит производные функции ϕ второго или более высокого
порядка, то уравнение, которое называют уравнением Эйлера имеет вид:
L
ϕ
−
∂
∂t
L
ϕ
t
−
∂
∂x
j
L
ϕ,j
+
∂
2
∂t
2
L
ϕ
tt
+
∂
2
∂t∂x
j
L
ϕ
t
,j
+
∂
2
∂x
j
∂x
k
L
ϕ,jk
−. . . = 0 .
(15.23)
Уравнение (15.23) является результатом повторного интегрирования по
частям.
Уравнения (15.22) и (15.23) — уравнения в частных производных для
ϕ(x, t), причем уравнениям такого вида можно дать эквивалентную вари-
ационную формулировку.
В качестве т ипичного примера для дальнейшего построения теории
вновь используем уравнение Клейна-Гордона в виде:
ϕ
tt
− α
2
∇
2
ϕ + β
2
ϕ = 0 . (15.24)
Сравнивая уравнения (15.24) и (15.22), находим выражение для лагран-
жиана
L =
1
2
ϕ
2
t
−
1
2
α
2
(∇ϕ)
2
−
1
2
β
2
ϕ
2
. (15.25)
Как уже использовалось для медленно меняющихся волновых пакетов
ϕ ∼ Re[A exp(iθ)], т.е.
ϕ ∼ a cos(θ + η) , (15.26)
где a = |A|, η = Arg A, ω = ∂θ/∂t, k
j
= −∂θ/∂x
j
. Подставим (15.26)
в лагранжиан, пренебрежем производными от a, η, ω и k и проведем
усреднение по периоду, т.е. перейдем к
L(a, ω, k) =
1
2π
2π
Z
0
L dθ .
Тогда для уравнения Клейна-Гордона (15.24), используя соотношения (15.25)
и (15.26), получим:
L =
1
4
ω
2
− α
2
k
2
− β
2
a
2
. (15.27)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- …
- следующая ›
- последняя »
