Составители:
Рубрика:
372
Задача 15.1. Докажите, что для уравнений
ϕ
tt
− α
2
∇
2
ϕ = β
2
∇
2
ϕ
tt
,
ϕ
tt
+ γ
2
ϕ
xxxx
= 0 ,
с дисперсионными уравнениями ω = ±iαk/
p
1 + β
2
k
2
, и ω = ±γk
2
спра-
ведливы соотношения
L =
1
4
ω
2
− α
2
k
2
+ β
2
ω
2
k
2
a
2
,
L =
1
4
ω
2
− γ
2
k
4
a
2
.
Постулируем теперь усредненный вариационный принцип
δ
ZZ
L(+θ
t
, −θ
x
, a) dtdx = 0 (15.28)
для функций θ(x, t) и a(x, t).
Поскольку производные от a отсутствуют, уравнение Эйлера (15.23)
для вариации функции a имеет вид
δa : L
a
= 0 .
Вариационное уравнение для функции θ таково:
δθ :
∂
∂t
L
θ
t
+
∂
∂x
j
L
θ,j
= 0 .
В эти соотношения входят только производные по θ, поэтому снова удоб-
нее вернуться к ω, k и a. Тогда условия совместности, необходимые для
существования фазы, выглядят так:
L
a
= 0 , (15.29)
∂
∂t
L
ω
−
∂
∂x
j
L
k
j
= 0 , (15.30)
∂k
i
∂t
+
∂ω
∂x
i
= 0 ,
∂k
i
∂x
j
−
∂k
j
∂x
i
= 0 . (15.31)
Уравнение (15.29) ничем, кроме дисперсионного уравнения быть не мо-
жет, поскольку является функциональным соотношением между ω, k и
a, что легко проверить во всех примерах задачи 15.1.
Тогда очевиден следующий важный вывод. Для любой линейной за-
дач и лагранжиан L есть квадратичная функция от ϕ и ее производных.
Как следствие этого, выражение для L имеет следующий вид:
L = G(ω, k) a
2
. (15.32)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- …
- следующая ›
- последняя »
