Составители:
Рубрика:
374
функции F (k) и g(k) не совпадают, поэтому нельзя считать, ч то соотно-
шение (15.36) представляет собой усредненное энергетическое уравнение
— первое уравнение из (15.18).
Для дальнейших рассуждений Уизем [3] привлекает теорему Нетер,
которая утверждает, что каждой группе преобразований, относительно
которой лагранжиан инвариантен, соответствует свое уравнение сохране-
ния. Если лагранжиан инвариантен относительно сдвига по t, это утвер-
ждение к нему применимо, и соответствующее энергетическое уравнение
оказывается таким:
∂
∂t
(ωL
ω
− L) +
∂
∂x
j
−ωL
k
j
= 0 . (15.37)
Лагранжиан в (15.28) удовлетворяет указанному требованию инва-
риантности. Вслед за Уиземом не будем прослеживать во всех деталях
применение теоремы Нетер, а лишь укажем, что соотношение (15.37) по-
лучается из системы уравнений (15.29)-(15.31) (предоставляем читателю
убедиться в этом самому).
Как показано выше, в линейном случае стационарное значение L = 0,
поэтом у для плотност и энергии имеем
E = ωL
ω
, (15.38)
а для плотности потока энергии
F
j
= −ωL
k
j
. (15.39)
Следовательно, L
ω
= E/ω, и уравнения (15.30) или (15.37) можно запи-
сать в виде:
∂
∂t
E
ω
+
∂
∂x
j
v
гр j
E
ω
= 0 , (15.40)
а из формул (15.32), (15.38) и (15.39) имеем E = ωG
ω
a
2
и F
j
= v
гр j
E = −
−ωG
k
j
a
2
. Напомним, что величина E/ω уже встречалась нам в главе 7 где
она интерпретировалась как адиабатический инвариант для о сциллятора
с медленно изменяющимися параметрами.
Задача 15.2. Известно, что усредненный гамильтониан, т.е. пло тность энер-
гии волны, выражается как
¯
H =
p ˙q −
¯
L ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- …
- следующая ›
- последняя »
