Составители:
Рубрика:
381
Метод, основанный на дисперсионном уравненииУкажем еще на один
простой способ получения энергетических соотношений в средах с вре-
менной и пространственной дисперсией, который основан на использова-
нии дисперсионного уравнения системы [8, 9]. Рассмотрим одномерную
волну v
0
= Re{v exp[i(ωt − kx)]}, где v
0
, например, — скорость возмуще-
ния в потоке электронов. Пусть волна скорости возбуждается внешней
волной F
0
= Re{F exp[i(ωt − kx)]} (например, продольной электрической
компонентой бегущей электромагнитной волны), которая и определяет
значения ω и k. Амплитуды v и F определены так, чтобы средняя за
период мощность взаимодействия возбужденной и внешней волн была
пропорциональна (F
0
v
0
?
). Если v и F связаны линейным соотношением
D(ω, k)v = −iF , где D(ω, k) — аналитическая функция ω и k, то имеют
место формулы: для усредненной по периоду энергии на единицу длины
hEi =
∂D
∂ω
vv
?
4
(15.55)
и для усредненного по периоду потока энергии на единицу длины
hSi =
∂D
∂k
vv
?
4
. (15.56)
В отсутствие внешнего воздействия D(ω, k) = 0 и v
гр
= dω/dk =
= (∂D/∂k) (∂D/∂ω)
−1
= hSi/hEi, где полная производная берется вдоль
всей дисперсионной характеристики.
Предоставляем читателю самому доказать весьма полезные формулы
(15.55) и (15.56). В качестве примера их применения рассмотрим волны
пространственного заряда в электронном потоке, исходя из уравнения для
плотности сгруппированного тока j
0
при воздействии на поток внешней
бегущей электромагнитной волны с продольной компонентой электриче-
ского поля E
0
(см. гл .14. В предположении, что все переменные величины
изменяются во времени по закону exp(iωt), это уравнение имеет вид
∂
2
j
0
∂x
2
+ 2i
ω
v
0
∂j
0
∂x
−
"
ω
v
0
2
−
ω
q
v
0
2
#
j
0
=
iωω
2
p
4πv
2
0
E
0
(15.57)
v
0
—постоянная скорость пучка, ω
q
= R(ω, k)ω
q
. Если E
0
∼ exp[i(ωt −
− kx)], то из (15.57) имеем
4π
ωS
h
(ω − kv
0
)
2
/ω
2
p
− R
2
(ω, k)
i
j
0
S = −iE
0
, (15.58)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- …
- следующая ›
- последняя »
