Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 389 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

389
Пусть все переменные величины изменяются по закону exp[i(ωt −
− kx)]. Тогда из условия совместно сти уравнений (16.5)-(16.7) следует,
что (ω − kv
0
)
2
= ω
2
p
= 4πρ
0
e/m и ω − kv
0
= ω
p
соответствует быстрой
волне пространственного заряда, а ω −kv
0
= −ω
p
относится к медленной
волне. Из уравнений (16.5) и (16.7) находим v
0
= (e/m)E
пз
/[i(ω − kv
0
)],
E
пз
= −4πρ
0
/(ik), откуда имеем v
0
= (4πe/m)ρ
0
/[k(ω − kv
0
)] или
v
0
v
0
=
ω
2
p
kv
0
(ω − kv
0
)
ρ
0
ρ
. (16.8)
С учетом того, что ω − kv
0
= ±ω
p
и kv
0
= ω ∓ ω
p
, из соотношения (16.8)
пол учаем формулы, связывающие переменные составляющие скорости и
плотности объемного заряда для медленной и быстрой волн соответствен-
но:
v
0
м
v
0
= −
ω
p
ω + ω
p
ρ
0
м
ρ
0
,
v
0
б
v
0
=
ω
p
ω − ω
p
ρ
0
б
ρ
0
, (16.9)
Из соотношений (16.9) видно, что в медленной волне возмущения ско-
рости находятся в противофазе с возмущениями плот ности (знак “-” в
первой из формул (16.9), а в быстрой — в фазе (знак “+” во второй
из формул (16.9). Соотношения (16.9) можно еще более упростить, ес-
ли считать ω
p
ω (что характерно, например, для вакуумной СВЧ-
электроники [11]). В этом предположении
v
0
м
v
0
= −
ω
p
ω
ρ
0
м
ρ
0
,
v
0
б
v
0
=
ω
p
ω
ρ
0
б
ρ
0
, (16.10)
Полученные выражения (16.9) (или (16.10)) сразу проясняют, почему у
быстрой волны энергия положительна, а у медленной отрицательна. Дей-
ствительно, например, из (16.10) следует, что для быстрой волны в обла-
сти, где возмущение приводит к увеличению плотности ρ
0
б
, скорость дви-
жения частиц больше v
0
, а на участках, где плотность уменьшилась, ско-
рость электронов меньше v
0
. Поэтому при возбуждении быстрой волны в
потоке преобладают ускоренные по сравнению с v
0
электроны и резуль-
тирующая кинетическая энергия, переносимая пучком, больше энергии
невозмущенного пучка. Если же возбуждена медленная волна, то в тех
областях, где образуется сгущение (увеличение ρ
0
м
, скорость электро-
нов, наоборот, меньше v
0
и больше v
0
там, где возникает разрежение
(уменьшение ρ
0
м
). В результате при возбуждении в электронном пото-
ке медленной волны в нем преобладают замедленные по сравнению с v
0

Страницы