Составители:
Рубрика:
41
Множество всех возможных состояний системы называется фазовым
пространством. На фазовом пространст ве должно быть определено рас-
стояние между любыми двумя элементами. Если число динамических пе-
ременных конеч но и равно N, то фазовое пространство имеет конечную
размерность, совпадающую с N. В таком случ ае фазовое пространство
може т быть вложено в обычное эвклидово про странство конечной раз-
мерности. Системы с фа зовым пространством конечной размерности на-
зывается конечномерными или сосредоточенными. Примеры из главы 1
относятся к сосредоточенным системам.
Во многих случаях состояние системы определяется заданием одной
или нескольких функций. Например, колебания рояльной струны при
некоторой идеализации описываются уравнением y
tt
− v
2
y
xx
= 0, где
y(x, t) — поперечное смещение струны от положения равновесия, v —
скорость поперечных волн, нижние индексы означают дифференцирова-
ние по соответствующим независимым переменным. Чтобы рассчитать
колебания струны, необходимо при t = 0 задать две функции — на-
чальное смещение y(x, 0) и нача льную поперечную скорость y
t
(x, 0), т.е.
бесконечный набор динамических переменных. Системы, обладающие та-
ким свойством, называются бесконечномерными или распределенными.
Сосредоточенные системы чаще всего описываются с помощью обыкно-
венных дифференциальных уравнений, а распределенные системы — с
помощью дифференциальных уравнений в частных производных.
Кроме этого, динамические системы подразделяются на системы с
непрерывным временем и системы с дискретным временем. В первом слу-
чае параметр t пробегает все возможные значения от начального t
0
до бес-
конечности, во втором случае t принимает определенные дискретные зна-
чения. Например, в биологии дискретность времени может быть связана с
сезонностью и годовыми циклами развития. Последовательные состояния
системы во времени можно просто нумеровать индексом, принимающим
целые значения. Поведение системы с дискретным временем описывается
отображениями. Чре звычайно популярна простая модель, описывающая
развитие биологического вида, так называемое логистическое отображе-
ние x
n+1
= λ − x
2
n
, где λ — положительный действительный параметр.
Не смотря на кажущуюся простоту, логистическое отображение демон-
стрирует очень сложную динамику, исследование которой внесло огром-
ный вклад в развитие современной теории динамического хаоса [7].
Динамические систем ы разделяются также на автономные и неав-
тономные. Автономным системам отвечают дифференциальные или раз-
ностные уравнения, в которые время не входит явным образом. Это зна-
чит, что параметры физической системы не зависят от времени и на нее
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
