Составители:
Рубрика:
43
Рис. 2.1. Особая точка типа центр. Стрелки показывают
направление движения изобра жающей точки.
Картина фазовых траекторий вблизи положения равновесия гармони-
ческого осциллятора называется особой точкой типа центр.
Наличие замкнутых фазовых траекторий говорит о том, что движение
системы является периодическим. Действительно, если в момент t
0
+ T
изображающая точка оказывается в той же точке фазового пространства,
в которой она была в момент t
0
, то дальше, на временном интервале [t
0
+
+ 2T, t
0
+ 3T ], она повторит движение на интервале [t
0
+ T, t
0
+ 2T ] , что
и доказывает сделанное утверждение. Разумеется это свойство выполня-
ется для любых автономных динамических систем, как с непрерывным,
так и с дискретным временем, независимо от их размерности.
§ 3. Положения равновесия и особые точки
Динамическая система второго порядка с непрерывным временем опи-
сывается в общем случае системой дифференциальных уравнений
˙x = P (x, y) , ˙y = Q(x, y) (2.3)
(для упрощения записи мы обозначили ˙x = y). Предположим, что P (x, y)
и Q(x, y) — аналитические функции своих переменных. Решения системы
уравнений
P (x, y) = 0 , Q(x, y) = 0 (2.4)
определяют положения равновесия динамической системы: если в неко-
торый момент x = x
0
, y = y
0
, где (x
0
, y
0
) — решение (2.4), то система
и дальше будет оставаться в этом состоянии. Разделим второе уравне-
ние в (2.3) на первое, и получим дифференциальное уравнение, которому
подчиняются траектории на фазовой плоскости:
dy
dx
=
Q(x, y)
P (x, y)
. (2.5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
