Составители:
Рубрика:
44
Каждая фазовая траектория динамической системы (2.3) является ли-
бо целой интегральной кривой уравнения (2.5), либо ее частью. Если
правая часть в (2.5) с некоторой точке фазовой плоскости удовлетво-
ряет условию существования и единственности решения обыкновенного
дифференциального уравнения [5], то через эту точку проходит един-
ственная интегральная кривая уравнения (2.5). Так ая точка называется
неособой. Условия существования и единственности нарушаются в точ-
ках, где выполняются уравнения (2.4). Таким образом, положения рав-
новесия на фазовой плоскости я вля ются одновременно особыми точками
уравнения (2.5). По этой причине положения равновесия удобно клас-
сифицировать по типу особой точки. Через особую точку может прохо-
дить произвольное число инте гральных кривых, либо не проходить ни
одной [1]. В первом случае особые интегральные кривые состоят из кус-
ков нескольких фазовых траекторий, во втором сама особая точка дает
отдельную траекторию (x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0).
Как было показано в предыдущем параграфе, л инейному осциллятору
отвечает особая точка второго типа, называемая центром. В случае центра
система фазовых траекторий состоит из вложенных друг в друга гладких
замкнутых кривых, окружающих положение равновесия . Центр присут-
ствует на фазовой плоскости всех систем, для которых линеаризованные
уравнения вблизи положения равновесия сводятся к уравнению линей-
ного осциллятора (1.2) и у которых существует закон сохранения [3, 8].
Этот результат принадлежит А.М. Ляпунову, его доказательство выходит
за рамки линейной теории.
Опираясь на это ут верждение, можно сразу сказать, что рассмотрен-
ные в главе 1 нелинейный маятник, грузик на нелинейной пружинке и
колебательный контур также имеют центр на фазовой плоскости. При
учете нелинейности замкнутые траект ории уже не будут в точности эл-
липсами, одна ко картина траекторий вблизи центра будет топологически
эк вивалентна картине траекторий л инейного осцилл ятора.
§ 4. Фазовый портрет системы хищник-жертва
Поскольку численности популяция о боих видов не могут быть отри-
цательными (N
1
≥ 0, N
2
≥ 0), то фазовым пространством будет четверть
плоскости (N
1
≥ 0,N
2
≥ 0). В § § 3 установлено , что вблизи точки с
координатами N
0
1
= ε
1
/γ
2
, N
0
2
= ε
2
/γ
1
нелинейные уравнения (1.18) при-
водятся к виду уравнений линейного осциллятора. Покажем, что в этой
точке на фазовой плоскости расположен центр. Для этого получим для
уравнений (1.18) закон сохранения.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
