Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

46
§ 5. Особая точка типа седло
Система хищник — жертва имеет на фазовой плоскости еще одну осо-
бую точке — положение равновесия N
1
= 0, N
2
= 0. Исследуем поведение
фазовых траекторий вблизи нее. Для такого анализа достаточно считать
в уравнениях (1.18) величины N
1
и N
2
малыми и провести линеаризацию,
отбросив в (1.18) произведения малых величин N
1
N
2
. В результате такой
процедуры получаем в безразмерных переменных:
˙x = ε
1
x , ˙y = −ε
2
y . (2.7)
Решение этих уравнений не вызывает труда: x(t) = x
0
exp(ε
1
t), y(t) =
= y
0
exp(−ε
2
t) (считается, что при t = 0 изображающая т очка имеет
на фазовой плоскости координаты (x
0
, y
0
)). Из этого решения видно,
что численность жертв экспоненциально нарастает, в то время, как чис-
ленность хищников экспоненциально убывает с течением времени. Вдоль
направления, параллельного оси y, точка приближается к положению рав-
новесия, а вдоль направления, параллельного оси x, — убывает от него.
Это поведение кардинально отличается от того, что мы имели в случае
центра. Можно найти форму фазовой траектории вблизи особой точки.
Для этого прологарифмируем выражения для x(t) и y(t) и приравняем t
из обоих формул. Такая процедура приводит к соотношению ln(x/x
0
)/ε
1
+
+ ln (y/y
0
)/ε
2
= const, из которого следует, что
x(t)y
α
(t) = x
0
y
0
α
= const , (2.8)
где α = ε
1
/ε
2
> 0. Это уравнение показывает, что вблизи особой точки
фазовые траектории имеют вид гипербол, причем роль асимптот выпол-
няют оси координат.
Оси координат явля ются особыми траекториями. Чтобы исследовать
их, предположим, что численность хищников при t = 0 равна нулю. Под-
ставив y = 0 в уравнения, полученные после нормировки (1.18), находим
˙y = 0, т.е. равна нулю и скорость изменения хищников. Следовательно,
величина y = 0 не меняется со временем. В этом случае уравнение для
x(t) из (1.18) совпадает с первым уравнением линеаризованной системы
(2.7) и имеет то же самое решение x(t)(t) = x
0
exp(ε
1
t). Это знаменитый
закон Мальтуса, говорящий о том, что в условиях достаточного количе-
ства пищи и в отсутствии врагов вид размножается экспоненциально.
Найденное решение означает, ч то если в начальный момент изобража-
ющая точка лежит на положительной полуоси x, то она будет оставаться
на ней всегда, удаляясь в пределе t → ∞ на бе сконечность.

Страницы