Составители:
Рубрика:
45
Рис. 2.2. Фазовый портрет системы хищник — жертва (а) и вид
фазовых траекторий в окрестности особой точки типа седло (б)
Удобно перейти к безразмерным координатам x = N
1
/N
0
1
, y = N
2
/N
0
2
.
Сделав такой переход в (1.18) и поделив второе из этих уравнений на
первое, получим
dy
dx
= −
αx(y −1)
y(x − 1)
,
где α = ε
1
/ε
2
. Это уравнение легко проинтегрировать:
(x − ln x) + α(y − ln y) = C , (2.6)
C — постоянная интегрирования. При заданном C уравнение (2.6) опреде-
ляет интегральную кривую на фазовой плоскости x, y. Подставляя в (2.6)
x = 1 + ˜x, y = 1 + ˜y, |˜x|, |˜y| 1, и разлагая логарифмы в ряд с помо-
щью формулы ln(1 + x) = x − x
2
/2 + O(x
3
), получаем, чт о вблизи особой
точки закон сохранения принимает вид ˜x
2
/2 + α˜y
2
/2 = C. Это говорит о
том, что фазовые траектории вблизи особой точки являются вложенными
друг в д руга эллипсами, т.е. мы имеем дело с центром. Впрочем, этот
вывод можно было бы сделать сразу, на основании закона сохранения
(2.6), используя сформулированный выше критерий существования цен-
тра. Фазовый портрет системы хищник — жертва приведен на рис. 2.2,а.
Задача 2.2. Покажите, что на фазовой плоскости системы хищник — жерт-
ва все траектории, кроме положений равновесия и положительных полуосей
x и y являются замкнутыми, т.е. отвечают периодическому движению.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
