Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

47
Можно рассматривать динамику в “обратном” времени, т.е. в пределе
t → −∞. Очевидно, что при этом система приближается к нулевому
положению равновесия, однако с т ечением времени изображающая точка
движется все медленнее и медленнее, так что особая точка никогда не
будет достигнута.
Таким образом, положительная полуось x (с выброшенной точкой x =
= 0) представляет собой особую траекторию системы, двигаясь вдоль
которой система выходит из положения равновесия при t = −∞ и уда-
ляется на бесконечность при t → ∞. Полное время движения по такой
траектории бесконечно.
Аналогично исследуется случай, когда при t = 0 точка лежит на оси
y. В этом случае x(t) ≡ 0 и y(t) = y
0
exp(−ε
2
t). Эти формулы описывают
вторую особую траекторию, двигаясь вдоль которой система приходит из
бесконечности при t = −∞ и приближается к особой точке, никогда не
попадая в нее, в пределе t → ∞.
Рассмотренная особая точка называется о собой точкой типа седло, а
траектории, входящие и выходящие из седла, называются сепаратриса-
ми. Картина фазовой плоскости вблизи седла характеризуется наличи-
ем следующих компонент: положения равновесия, сепаратрис и о сталь-
ных фазовых траекторий, имеющие вид гипербол. Сепаратрисы разделяют
области фазового пространства на множества траекторий с разным пове-
дением при t → ±∞.
Вид фазовых траекторий вблизи седла для системы хищник — жертва
показан на рис. 2.2,б. На этом рисунке седло в некотором смысле выро-
ждено, поскольку фазовое пространство системы ограничено условиями
x ≥ 0, y ≥ 0. Ниже будет рассмотрен случай, когда таких ограничений
нет.
Рассмотрим одномерное движение частицы вблизи максимума потен-
циальной энергии (рис. 2.3,а). Отсчитывая координату частицы x от точ-
ки максимума, запишем разложение потенциальной энергии в ряд вблизи
этой точки: W
п
(x) = W (0) −β
2
x
2
/2 + O(x
3
). Мы предполагаем, что β
2
=
= (d
2
W
п
/dx
2
)
x=0
> 0. Тогда линейное уравнение движения имеет вид
¨x − β
2
x = 0 . (2.9)
Оно отличается от уравнения консервативного осциллятора (1.2) толь-
ко знаком перед вторым слагаемым. Решая уравнение (2.9) и вычисляя

Страницы