Составители:
Рубрика:
49
Рис. 2.4. Фазовая плоскость математического маятника: (а) — вид
потенциальной функции и (б) — картина фазовых траекторий.
Аналогично, если C
1
= 0, то ˙x(t) = −βx(t). Движение системы вдоль
этой прямой таково, что при t → ∞ она приближается к точке равновесия,
а при t → −∞ — удаляется от нее. Эта прямая состоит из второй пары
сепаратрис, входящих в особую точку и самой этой точки.
Таким образом в общем случае картины фазовых траекторий вблизи
седла состоит из неподвижной точки, четырех особых траекторий — па-
ры сепаратрис, входящих в особую точку и пары выходящих из нее, и
остальных траекторий, которые вблизи седла близки по форме к гипер-
болам (рис. 2.3,б).
Еще одним примером системы, у которой на фазовой плоскости при-
сутствуют седла, является математический маятник. Для него график по-
тенциальной энергии имеет вид, показанный на рис. 2.4,а. Вблизи нижне-
го положения равновесия (т.е. при ϕ = 0, ˙ϕ = 0, полная энергия системы
приближенно равна W = mglϕ
2
/2 + ml
2
˙ϕ
2
/2, что соответствует локаль-
ному минимуму функции W (ϕ, ˙ϕ). Такие же минимумы расположены в
точках ϕ = 2πn, ˙ϕ = 0, n = ±1, pm2 . . . . На фазовой плоскости маятника
в этих точках находятся центры. Вблизи точек ϕ = π(2n + 1), ˙ϕ = 0,
n = 0, ±1, ±2, . . . функция W (ϕ, ˙ϕ) ≈ W = mgl[vf i − π(2n + 1)]
2
/2 +
+ ml
2
˙ϕ
2
/2 — это седловые точки, на фазовой плоскости здесь находя тся
седла. Общая картина фазовых т раекторий показана на рис. 2.4,б.
Движению вдоль сепаратрис соответствует тому, что маятник беско-
нечно долго находится в верхнем положении равновесия, затем, набирая
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
