Составители:
Рубрика:
50
скорость, отклоняется от него, делает оборот и вновь бесконечно долго
приближается к верхнему положению равновесия, которое будет достиг-
нуто только при t → ∞. Если энергия маятника больше, чем 2mgl, то он
вращается по или против часовой стрелки вокруг точки подвеса. На фазо-
вой плоскости это соответствует траекториям, лежащим вне сепаратрис.
Таким образом, сепаратрисы разделяют траектории с разным характером
движения.
§ 6. Устойчивость положений равновесия
Вид фазовых траекторий вблизи центра и седла показывает, что е сли
начальные условия заданы вблизи неподвижной точки, то поведение си-
стемы на больших временах может быть совершенно различным. В случае
центра система совершает малые колебания и в л юбой момент времени
остается вблизи точки равновесия. В случае седла фа зовая траектория
удаляется от положения равновесия на большие расстояния, если толь-
ко начальное положение специально не было выбрано на сепаратрисе,
входящей в седло. Эт о наблюдение приводит к понятию устойчивости
неподвижной точки динамической системы. Введем определение устой-
чивой неподвижной точки, применимое к конечномерным динамическим
системам [1, 3].
Неподвижная точка x
0
= {x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
N
} динамической системы в N-
мерном фазовом пространстве называется устойчивой (по Ляпунову), е с-
ли для любого eps > 0 всегда найдется такое δ(ε) > 0, чт о из условия
kx(t
0
) − x
0
k < δ следует выполнение условия kx(t) − x
0
k < ε для лю-
бого t > 0. Если такого числа δ не существует, то система называется
неустойчивой.
Символ k. . . k означает расстояние в фазовой пространстве. Говоря дру-
гим языком, особая точка называется устойчивой, если система гаран-
тированно остается достаточно близко от положения равновесия во все
моменты времени, при условии, что е е начальное положение в фазовом
пространстве выбрано произвольным, но достаточно близким к положе-
нию равновесия.
Кроме понятия устойчивости по Ляпунову, в те ории динамических
систем вводится также понятие асимптотически устойчивого положения
равновесия.
Положение равновесия x
0
называется асимптотически устойчивым, если
оно устойчиво по Ляпунову и lim
t→∞
x(t) = x
0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
