Составители:
Рубрика:
48
Рис. 2.3. Особая точка типа седло: вид потенциальной функции
вблизи максимума (а) и картина фазовых траекторий вблизи непо-
движной точки (б).
производную от полученного решения, получаем
x(t) = C
1
e
βt
+ C
2
e
−βt
,
˙x(t) = β(C
1
e
βt
− C
2
e
−βt
) ,
(2.10)
где C
1,2
— константы интегрирования. Комбинируя два уравнения в (2.10),
запишем
C
1
e
βt
=
1
2
[x(t) + ˙x(t)/β] ,
C
2
e
−βt
=
1
2
[x(t) − ˙x(t)/β] .
(2.11)
Предположим сначала, что C
1
C
2
6= 0. Тогда, перемножив почленно
уравнения в (2.11), получаем
x
2
4C
1
C
2
−
˙x
2
4C
1
C
2
= 1 . (2.12)
Это каноническое уравнение гиперболы.
Рассмот рим условия, при которых т ребование C
1
C
2
6= 0 нарушается.
Пусть сначала C
2
= 0. Из второго уравнения (2.10) следует, что это
возможно, если ˙x(t) = βx(t). Множество точек на фазовой плоскости,
удовлетворяющее этому условию, есть прямая с угловым коэффициентом
β, проходящая через начало координат. Таким образом, изображающая
точка остается на этой прямой во все последующие моменты времени.
Подставив C
2
= 0 в (2.10), находим с увеличением t система уходит
на бесконечность. При t → −∞ изображающая точка, напротив, стре-
миться к точке равновесия. Прямая ˙x = βx состоит из двух сепаратрис,
выходящих из точки равновесия и, вдобавок, самой этой точки.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
