Составители:
Рубрика:
42
не действуют внешние силы. Неавтономные системы — это системы, в
уравнения которых время входит явно.
Рассмотрим конечномерную динамическую систему с непрерывным
временем. Любая точка, принадлежащая ее фазовому пространству опре-
деляет возможное начально е состояние. Эволюция системы во време-
ни сопровождается изменение ее динамических переменных x
i
(t), i =
= 1, 2, . . . , N, при этом точка, изображающая состояние системы в фазо-
вом пространстве, перемещается вдоль некоторой кривой, которая назы-
вается фазовой траекторией. Для систем с дискретным временем фазо-
вой траекторией называ ют упорядоченное множество состояний системы
x
0
, x
1
, . . ., которые она принимает в соответствии с законом эволюции.
Задача 2.1. Исходя из определения динамической системы, покажите, что
ее фазовые траектории не могут пересекаться.
§ 2. Особая точка типа центр
Линейный осциллятор — динамическая система с непрерывным вре-
менем и размерностью фазового пространства, равной двум. В качестве
динамических переменных выступают координата осциллятора x и е го
скорость
2
˙x. Поскольку обе эти величины могут принимать произволь-
ные действительные значения, то фазовым пространством линейного ос-
циллятора является плоскость R
2
, на которой можно ввести декартовую
систему координат, откладывая вдоль осей x и ˙x. Картину фазовых тра-
екторий осциллятора проще всего получить, записав закон сохранения
энергии в виде
x
2
(
p
2W/k)
2
+
˙x
2
(
p
2W/m)
2
= 1 , (2.2)
откуда следуе т, что фазовые траектории являются эллипсами с полуося-
ми
p
2W/k и
p
2W/k. При изменении энергии осцилля тора W размер
эллипса также меняется, так что вся совокупность траекторий предста-
вляет собой систему вложенных друг в друга эллипсов, охватывающих
начало координат (рис. 2.1). Помимо этого, есть еще одна траектория
x(t) ≡ 0, ˙x(t) ≡ 0, отвечающая осциллятору, покоящемуся в положении
равновесия.
2
Для механических систем часто вместо скорости удобно использовать имп ульс p =
= m ˙x.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
