Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 426 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

426
Задача 17.1. Вычислите фокусное расстояние линзы, образованной слоем
среды с параболическим распределением показателя преломления (17.34).
Толщина слоя D.
Ответ. f =
n
0
a
n
m
√
∆
ctg(
√
2∆D/a).
Самое важное свойство градиентного диэлектрического волновода (как
и диэлектрических волноводов других типов) состоит в том, что он спосо-
бен поддерживать направленное распространение электромагнитных волн
вдоль своей оси без потерь энергии на излучение. Эт о означает, что урав-
нения электродинамики допускают решения с заданной частотой ω, у
которых пространственная зависимость всех компонент полей вдоль на-
правления распространения определяется множителем exp(−iβx), где β
— продольное волновое число, зависящее от частоты. Функция β(ω) на-
зывается дисперсионной характеристикой диэлектрического волновода.
Воспользуемся методом геометрической оптики для вычисления дис-
персии плоского диэлектрического волновода. Рассмотрим плоскость
z = 0 и зададим на ней начальное распределение эйконала ψ
0
(x). Функ-
циональная зависимость поля от x определяется множителем exp(−iβx),
поэтому эйконал в этой плоскости задается формулой
kψ(x, z)|
z=0
= βx . (17.36)
Угол θ
0
, под которым траектория пересекает плоскость z = 0 определим
из следующих соображений. Воспользуемся вновь оптико-механической
аналогией. Благодаря независимости показателя преломления от x, ком-
понента вектора p вдоль этой оси является интегралом движения, поэто-
му ∂ψ/∂x = p
x
= n
m
cos θ
0
. Эт о соотношение согласуется с формулой
(17.36), если выполняется равенство
β = kn
m
cos θ
0
. (17.37)
Следовательно, поле собственной моды волновода с заданным β форми-
руют лучи с одним и тем же углом наклона, опреде ляемым уравнением
(17.37). Выберем один из этих лучей, выходя щий из точки с координа-
тами (x
0
, 0) в верхнюю полуплоскость и вычислим изменение эйконала
при движении вдоль луча по одному пространственному периоду колеба-
ний. Полный эйконал представим в виде kψ(x, z) = βx + k
¯
ψ(z), тогда из
уравнения (17.7) для функции
¯
ψ(z) получаем
d
¯
ψ(z)
dz
2
= n
2
(z) − β
2
/k
2
,

Страницы