Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 427 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

427
откуда
d
¯
ψ(z) =
p
n
2
(z) − β
2
/k
2
dz .
Знак плюс перед корнем соответствует луч у, выходящему в верхнюю по-
луплоскость.
За один период колебания луча он проходит вдоль оси x расстояние
2L, поэтому полное изменение эйконала равно
k∆ψ = 2Lβ +
I
p
k
2
n
2
(z
0
) − β
2
dz
0
− π . (17.38)
Слагаемое −π появилось из-за того, что луч при своем движении два-
жды касается каустики в плоскостях z = ±z
m
, и при каждом касании
необходимо учитывать дополнительный сдвиг фазы на −π/2. Знак инте-
грирования по замкнутому контуру означает, что оно ведется по полному
периоду луча. Так как луч в результате возвращается в первоначальную
плоскость, для восстановления структуры поля собственной волны вол-
новода, необходимо выполнение условия согласова ния фаз: набег фазы
вдоль луча должен совпадать с точностью до 2πN (N — целое число)
c набегом фазы поля за счет множителя exp(−iβx) при смещении вдоль
оси x на расстояние 2L. Учитывая это требование, из (17.38) получаем
I
p
k
2
n
2
(z
0
) − β
2
dz
0
= π(2N + 1) , N = 0, 1, 2, . . . . (17.39)
Это уравнение называется условием поперечного ре зонанса [14]. Для за-
данного распределения n(z) оно позволяет найти возможные значения
β(k), то есть дисперсию волновода. Каждому значению N соответствует
дисперсионна я характеристика N-ой собственной моды волновода.
Задача расчета дисперсии плоского градиентного волновода в мат е-
матическом смысле полностью эквивалентна квантомеханической задаче
о колебаниях в одномерной потенциальной яме. Поперечное распределе-
ние поля собственной волны волновода совпадает с волновой функцией
дискретного уровня энергии, а получаемые из (17.37) значения β
2
N
(k)
аналогичны собственным значениям энергии. Таким образом, условие
поперечного резонанса является аналогом правила квантования Бора-
Зоммерфел ьда [2] в квантовой механике.
Обсудим условия, при которых формула (17.39) была получена. Во-
первых, мы предполагали, что электромагнитное поле удовлетворяет ска-
лярному волновому уравнению (17.5), пренебрегая эффектами поляри-
зации поля. Ниже будет показано, что для слоисто-неоднородного ди-
электрика, если ∆ 1, такое предположение выполняется с большим

Страницы