Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 429 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

429
луча θ
0
можно найти из формулы (17.37). С другой стороны, направляе-
мые лучи должны удовлетворять условию (17.33), откуда получаем, что
вся теория работает, если
p
1 − β
2
/(n
2
m
k
2
) <
√
2∆, или
kn
m
√
1 − 2∆ = n
0
k < β < n
m
k . (17.40)
Для действительных β правое неравенство всегда выполняется, иначе
под корнем в (17.39) будет стоять отрицательная при всех z величина, и
уравнение (17.39) не будет иметь действительных решений. Нарушение
левого неравенства означает, что z
m
> a, то есть каустика находится в
в области однородной оболочки, чего быть не может, так как все лучи
в однородной среде строго прямолинейны и при заданном β выходят из
сердцевины волновода под одинаковыми углами. Волновое поле отвечает
в этом случае убегающей от волновода под некоторым конечным углом
плоской волне. Таким образом, в этой области частот направляемой соб-
ственной волны не существует, вся энергия излучается из волновода и
амплитуда волны вдоль оси x экспоненциально уменьшается. Собствен-
ные моды диэлектрических волноводов, обладающие такими свойствами,
называются вытекающими.
Благодаря дифракционным эффектам поле в действительности частич-
но проникает в область за каустику, поэтому просачивание поля из серд-
цевины в оболочку наступает чуть раньше, чем каустика совпадет с гра-
ницей между сердцевиной и оболочкой. Следовательно рассматриваемое
приближение должно давать заметную погрешность вблизи тех частот,
при кот орых направляемая волна превращается в вытекающую.
В качестве конкретного примера вновь рассмотрим параболическое
распределение показателя преломления. Подставляя формулу (17.34) в
(17.39) и вычисляя интеграл, получаем
I
p
k
2
n
2
(z
0
) − β
2
dz
0
= πn
m
ka
√
2∆
sin θ
2
0
=
π(k
2
n
2
m
− β
2
)a
2
√
2∆kan
m
= π(2N + 1) .
Введем, вслед за [14], бе зразмерные переменные v =
√
2∆n
m
ka и u =
=
p
k
2
n
2
m
− β
2
a. В этих переменных дисперсионное уравнение записыва-
ется следующим образом:
u
2
= (2N + 1)v . (17.41)
Введем, наконец, нормированную постоянную распространения b = 1 −
− u
2
/v
2
, которая меняется в пределах от 0 до 1. В переменных (v, b)
дисперсионная характеристика определяется простым соотношением
b = 1 −
2N + 1
v
. (17.42)

Страницы