Составители:
Рубрика:
68
Рис. 3.6. Особая точка типа устойчивый фокус: а — на
комплексной плоскости a, б — на фазовой плоскости (x, ˙x)
переводит систему из состояние E
n
в состояние E
n−1
. Из формул (3.37) и (3.38)
следует, что n = hˆa
?
ˆai − 1/2, угловые скобки определяют операцию квантоме-
ханического усреднения по волновой функции. В классическом пределе n очень
велико и добавкой 1/2 можно пренебречь, а операторы рождения и уничтожения
превращаются в нормальные колебания. Отсюда получаем формулу для числа
квантов колебаний n = a
?
a, которую часто используют и в классическом случае.
§ 5. Особая точка типа устойчивый фокус. Аттракторы
Воспользуемся уравнениями нормальных колебаний для построения
картины фазовых траекторий осцил лятора с затуханием. В к ачестве фа-
зовой плоскости выберем комплексную плоскость a = a
0
+ia
00
с координа-
тами a
0
и a
00
— действительной и мнимой частью нормального колебания.
Динамика изображающей точки на плоскости задается первым урав-
нением в (3.33). Вычислив его модуль и аргумент, получаем
|a(t)| = |a(0)|e
−γt
, Arg a(t) = Arg a(0) − ω
0
t . (3.39)
Эти уравнения задают в полярной системе координат в параметрической
форме логарифмическую спираль (рис. 3.6,а). Радиус-вектор, соединяю-
щий начало координат с изображающей точкой, равномерно вращается по
часовой стрелке и е го длина уменьшается по экспоненциальному закону.
С течением времени система приближается к положению равновесия, но
никогда его не достигает, при этом спираль совершает бесконечное число
оборотов.
Несложно найти и вид траектории на фазовой плоскости (x, v). Из
соотношений (3.32) следует связь между динамическ ими переменными
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
