Составители:
Рубрика:
67
Из уравнений (3.35) можно выразить величины x и v:
x =
r
ω
0
2k
[(1 + iγ/ω)a + (1 − iγ/ω)a
?
] ,
v =
r
ω
0
2k
ω
2
0
iω
[a − a
?
] .
(3.36)
§ 4. Немного о квантовом осцилляторе
3
Нормальные колебания осциллятора играют фундаментальную роль в теоре-
тической физике. Как известно, переход от классических динамических уравне-
ний к квантовым осуществляется с помощью замены динамических переменных
соответствующими операторами, действующими на волновую функцию систе-
мы. Эти операторы подчиняются определенным коммутационным соотношениям.
Нормальные колебания a(t) и a
?
(t) для консервативного осци ллятора являются
такими динамическими переменными, для операторов которых коммутационные
соотношения выгл ядят наиболее просто. Так же простой вид имеет выраженный
через эти операторы гамильтониан. В квантомеханических уравнениях удо бно
выбрать такую нормировк у нормальных колебаний, чтобы гамильтониан имел
вид [7]
ˆ
H = ~ω
0
ˆa
?
ˆa . (3.37)
Этому соответствует выбор α =
p
k/(2~ω
0
). Операторы ˆa
?
и ˆa называют, соот-
ветственно, операторами рождения и ун ичтожения. Нетрудно показать, что для
них перестановочные соотношения принимают форму
ˆa ˆa
?
− ˆa
?
ˆa = 1 .
Собственные значения гамильтониана (3.37), т.е. квантовые уровни энергии рав-
ны
E
n
= ~ω
0
(n + 1/2) . (3.38)
Здесь n — номер уровня, или, как еще говорят, число квантов. Добавка 1/2
соответствует нулевой энергии осциллятора и имеет чисто квантовую природу.
Оператор рождения, действуя на волнову ю функцию системы с энергией E
n
,
переводит ее в состояние с энергией E
n+1
. Аналогично, оператор уничтожения
3
Читатель, не знакомый с основами квантовой механики, может пропустить этот па-
раграф
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
