Составители:
Рубрика:
65
Умножим первое и второе уравнения на некоторые константы α и β и
сложим их. Така я процедура приводит к выражению
d
dt
[αx + βv] = −
ω
2
0
β
α
αx +
(α − 2γβ)α
−ω
2
0
β
v
(3.28)
Выберем коэффициенты α и β так, чтобы в этой формуле множители
перед v, а, следовательно, и полные выражения в прямых скобках, справа
и слева были одинаковы. Это выполняется, если β = −(α
2
−2γαβ)/(ω
2
0
β),
или
ω
2
0
(β/α)
2
− 2γ (β/α) + 1 = 0 .
Из этого квадратного уравнения получаем
(β/α)
1,2
=
1
ω
2
0
γ ±
q
γ
2
−ω
2
0
=
γ ± iω
ω
2
0
. (3.29)
(мы предположили, что γ < ω
0
и использовали обозначения (3.4). Урав-
нение (3.29) определяет т олько отношение коэффициентов, а не каждый
из них по отдельности. Э то объясняется линейностью уравнений (3.28).
Один из коэффициентов, скажем α, следует находить из дополнительных
соображений.
Введем функции a(t) и a
?
(t) с помощью соотношений
a(t) = α
x +
γ + iω
ω
2
0
v
,
a
?
(t) = α
x +
γ − iω
ω
2
0
v
.
(3.30)
Эти величины называют нормальными колебаниями. Подставляя форму-
лы (3.29) в уравнение (3.28), находим, что нормальные колебания удо-
влетворяют уравнениям
˙a(t) = (−γ − iω) a(t) , (3.31)
˙a
?
(t) = (−γ + iω) a
?
(t) . (3.32)
Уравнения (3.31)-(3.32) называют уравнениями гармонического осцилля-
тора в форме нормальных колебаний. Их решения можно записать сле-
дующим образом:
a(t) = a(0)e
i(−ω+iγ)t
,
a
?
(t) = a
?
(0)e
i(ω+iγ)t
.
(3.33)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
