Составители:
Рубрика:
63
лебания x(t) можно ввести бесконечно много пар функций A(t) и ϕ(t),
которые будут давать c помощью формулы (3.20) одну и ту же функ-
цию x(t) [6]. Точно также, неоднозначной является операция усреднения
h. . . i. Если амплитуда и фаза заметно меняются на интервале времени
T
0
, то спектры вблизи частот ω
0
, 2ω
0
, . . . сильно перекрываются, при
этом операция фильтрации спектра оказывается неопределенной. Спектр
для такого случая показан на рис. 3.5,б пунктиром. В такой ситуации
пользоваться понятиями медленно меняющихся амплитуды и фазы коле-
баний следует с осторожностью, поскольку для получения аналитических
результатов с достаточной точностью этом необходимо проводить вычис-
ления в высших приближениях по малому параметру ε = |
˙
A/A|, при
этом простой способ усреднения, введенный здесь, может приводить к
ошибкам. В таких случаях следует использовать более мощные методы,
являющиеся развитием описанных здесь идей [4–6].
Из приведенного обсуждения может показаться, что вычисление ло-
кальных средних — сложная процедура. На самом деле это не так. Пра-
вильный результат в первом неисчезающем порядке по ε будет полу-
чатьcя, если при интегрировании в (3.21) амплитуду A(t) и фазу ϕ(t)
считать постоянными, не обращая внимания на их зависимость от време-
ни. Для полиномиальной функции F в этом случае все операции усред-
нения сводятся к вычислениям средних от степеней синусов и косинусов,
которые наход ятся элементарно.
Вычислим в качестве примера, используя это правило, вновь среднюю
мощность потерь. Считая, что величина V (t) = V
0
exp(−γt) в формуле
(3.22) постоянна, и вынося ее за знак интегрирований, имеем
g
P (t) = −λV
2
0
e
−2γt
1
T
t+T
Z
t
cos
2
(ωt
0
+ ψ) dt
0
= −
λV
2
0
e
−γt
2
. (3.24)
Это выражение отличается от получаемого c помощью усреднения из
формулы (3.23) только множителем (1−e
−2γT
)/(2γT ) ≈ 1−γT +O(γ
2
T
2
),
который при γT 1 близок к единице.
Процедура усреднения обладает полезным свойством: она перестано-
вочна с операцией дифференцирования по времени. Действительно,
f
df
dt
=
D
1
T
t+T
Z
t
df
dt
dt
E
=
^
f(t + T ) −
g
f(t)
T
≈
d
g
f(t)
dt
Последнее приближенное равенство выполняется благодаря тому, что за
время T усредненная функция
g
f(t) меняется слабо
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
