Составители:
Рубрика:
61
решение (3.9), скорость осциллятора представим в виде
˙x(t) = V
0
e
−γt
cos(ωt + ψ) , (3.22)
где V
0
=
p
v
2
0
+ (ω
2
0
x + γv
0
)
2
/ω
2
, arctg ψ = (ω
2
0
x
0
+ γv
0
)/(ωv
0
). Подста-
вляя это соотношение в формулу для мгновенной мощности и интегрируя
по периоду T , получаем
1
T
t+T
Z
t
P (t
0
) dt
0
= −λV
2
0
1
T
t+T
Z
t
e
−2γt
0
cos
2
(ωt
0
+ ψ) dt
0
.
Простое, но несколько громоздкое вычисление интеграла показывает, что
это выражение равно
1
T
t+T
Z
t
P (t
0
) dt
0
=
−λV
2
0
e
−2γt
2
1 − e
−2γT
2γT
{1+
+
2γ
γ
2
+ ω
2
[γ cos(2ωt + 2ψ) − ω sin(2ωt + 2ψ)]
. (3.23)
Из этой формулы видно, что помимо первого слагаемого в фигурных скоб-
ках, не зависящего от текущего момента времени t, есть еще два быстро
меняющихся во времени члена. Частота их изменения равна 2ω, а ампли-
туда порядка γ/ω 1. Несмотря на относительную малость, просто так
их отбросить нельзя. Например, при вычислении производной по време-
ни от выражения (3.23), эти слагаемые умножаются на дополнительный
множитель 2ω, и оказываются того же порядка, что и единица. Еще одна
неприятность состоит в том, чт о полученный в (3.23) результат зависит
от выбора пределов интегрирования: если вместо t и t + T в определении
(3.21) взять, скажем t − T /2 и t + T/2, то вид этих членов изменится.
Чтобы избавиться от подобных проблем, следует провести еще одно,
второе усреднение, оставив в (3.23) только те спектральные компоненты,
которые отвечают медленно меняющимся функциям. Это условие соот-
ветствует отбрасыванию в (3.23) быстро меняющихся слагаем ых, пропор-
циональных синусу и косинусу. Именно такая операция обозначается в
(3.21) угловыми скобками.
На спектральном языке такое усреднение соответствует тому, что в
фурье-спектре величины (1/T )
t+T
R
t
F[x(t
0
)]dt
0
— следует оставить только
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
