Составители:
Рубрика:
59
Рис. 3.3. Фурье спектр затухающего колебания линейного
осциллятора
постоянным и равным 2ω, и записать
X(ω
0
) ≈
v
0
/(2ωγ)
p
1 + (ω
0
− ω)
2
/γ
2
. (3.19)
Отсюда видно, что функция |X(ω
0
)|
2
имеет максимум в точке ω
0
= ω и
при отстройке от этого значения на величину γ уменьшается вдвое. По-
этому шириной спектра можно считать величину 2γ. Поведение функции
|X(ω
0
)|
2
вблизи точки ω
0
= −ω не требует специального исследования,
поскольку для действительных функций f (t) из (3.17) легко показать,
что их спектр должен удовлетворять условию F
?
(ω
0
) = F(−ω
0
).
Замечание. Обратите внимание, чт о для действительных функций их
фурье-спектр всегда имеет компоненты как на положительных, так и на
отрицательных частотах. Это легко понять, рассмотрев простейший слу-
чай гармонического сигнала x(t) = cos ω
0
t. По формуле Э йлера x(t) =
= (exp(iω
0
t) + exp(−iω
0
t))/2, следовательно частотный спектр косинуса
состоит из двух дискретных частот ±ω
0
. По этой причине, кстати, счи-
тается, что гармоническому осциллятору соответствует две собственные
частоты ±ω
0
, таким образом, число собственных частот совпадае т с чис-
лом динамическ их переменных осциллятора и размерностью его фазового
пространства.
Рассмотрение примера осциллятора со слабым затуханием показывает,
что если спектр колебания сосредоточен в относительно узкой области
∆ω относительно некоторой центральной частоты ω
0
, то его оказывае тся
полезным представить в виде
x(t) = A(t) cos[ω
0
t + ϕ(t)] , (3.20)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
