Составители:
Рубрика:
60
где функции A(t) и ϕ(t) —медленно меняющиеся амплитуда и фаза коле-
бания. Медленность их изменения означает, что за ”период” T
0
= 2π/ω
0
,
соответствующий центральной частоте, функции A(t) и ϕ(t) меняются
мало . Другой способ выразить это свойство заключается в неравенствах
|
˙
A/(ω
0
A)| 1 и | ˙ϕ/(ω
0
ϕ)| 1. Для линейного осциллятора с затуханием
во времени меняется только амплитуда, условие медленности ее измене-
ния совпадает с условием γ ω
0
, т.е. с условием слабого затухания.
Последовательный учет медленности изменения амплитуды и ф азы ко-
лебаний позволяет получить приближенное аналитическое решение мно-
гих задач, точное решение для которых неизвестно. Нескол ько таких при-
меров применительно к линейным системам, приведено в главах 7 и 17.
Для более общего случая нелинейных систем большое число подобных
задач исследуется в [4–6].
Для сигналов с медленно меняющимися параметрами полезно также
обобщить операцию усреднения, введенную в главе 1. Поскольку f(t)
непериодическая, то казалось бы, необходимо использовать определе-
ние (1.50). Однако, подставляя в эту формулу вместо f (t) выражение
(3.10), получаем
x(t) = 0, x
2
(t) = 0 и т.д. Следоват ельно, таким образом
определенное среднее не несет никакой информации о сигнале. Между
тем интуитивно ясно, что если за много периодов колебаний их амплиту-
да и фаза прак тически не меняются, то должны иметь, например, смысл
понятия средних потенциальной и кинетической энергий колебаний за
период, причем разумно предположить, что они должны определяться
формулами (1.51), в которые следует подставить вместо A
0
текущее зна-
чение амплитуды A(t).
Введем поня тие локального усреднения для функции F[f(t)] от сиг-
нала f (t) с помощью формулы
^
F[f (t)] =
D
1
T
0
t+T
Z
t
F[f (t
0
)] dt
0
E
. (3.21)
Смысл операции, обозначаемой угловыми скобками h. . . i, будет пояснен
чуть позднее, а cнача ла исследуем интеграл внутри них. Взглянув на
формулу (1.50), можно видеть, что этот интеграл точно такой же, как и
в операции определения среднего для периодической функции. Теперь,
однако, f (t) непериодическая, и это приводит к тому, что в результате
интегрирования получается быстро о сцилл ирующая функция.
Покажем это на простом примере, вычислив среднюю мощность по-
терь за период колебаний линейного осциллятора в виде грузика на пру-
жинке. Мгновенная мощность равна P (t) = F
тр
˙x = −λ ˙x
2
. Используя
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
