Составители:
Рубрика:
58
условиям
2
, тогда ее можно представить в виде
f(t) =
∞
Z
−∞
F (ω) e
iωt
dω
2π
, (3.16)
где
F (ω) =
∞
Z
−∞
f(t) e
−iωt
dt . (3.17)
Формула (3.16), очевидно, осуществляет разложение функции f(t) на
гармонические сигналы, а параметр ω играет роль их частоты. Функция
F (ω) называется фурье-спектром, или частотным спектром сигнала f (t).
Вычислим фурье-спектр затухающего колебания (3.9), ограничившись,
для простоты, случаем начальных условий x(0) = 0, ˙x(0) = v
0
(покоя-
щийся осциллятор получает толчком скорость v
0
). Подставляя формулу
(3.9) в (3.17) и учитывая, что x(t) = 0 при t < 0, после несложных
преобразований получаем
X(ω
0
) =
v
0
p
γ
2
+ (ω
0
− ω)
2
p
γ
2
+ (ω
0
+ ω)
2
(3.18)
(мы использовали обозначение ω
0
для текущей частоты, т.к. символ ω
уже занят — он обозначает собственную частоту осциллятора).
Функция |X(ω
0
)|
2
(ее еще называют спектром мощности сигнала) по-
казана на рис. 3.3. Из него следует, что для затухающего колебания
спектр, вообще говоря, я вляется сплошным: он состоит из гармонических
сигналов со всеми возможными частотами от −∞ до ∞. Если затухание
мало (γ ω), то функция спектр имеет вид двух острых пиков вблизи
частот ω
0
= ω и ω
0
= −ω. Доминирующий вклад в полный сигнал дают
спектральные составляющие с частотами, лежащими вблизи этих значе-
ний. Ширина пиков определяется величиной коэффициента затухания γ.
Рассмотрим, например, поведение |X(ω
0
)|
2
вблизи точки ω
0
= ω. В при-
ближении γ/ω 1 второй корень в знаменателе можно при этом считать
2
Фунция f( t) должна быть абсолютно интегрируемой в промежутке (−∞, +∞) и на
любом конечном интервале удовлетворять условиям Дирихле, т.е. иметь не более чем
конечное число разрывов первого рода и этот интервал должен допускать разбиение на
конечное число подинтервалов, на которых f(t) меняется монотонно [3].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
