Составители:
Рубрика:
56
нескольких τ = 1/γ колебания полностью затухают. Чтобы дать пред-
ставление о скорости затухания, скажем, что через время 2τ амплитуда
затухает в e
2
≈ 7,4 раза, за время 4τ — в e
4
≈ 54,6 раза, за время 10τ —
в 2,2·10
4
раз. Таким образом, τ определяет характерное время изменения
амплитуды и, следовательно, энергии колебаний.
Обозначим через A
n
последовательные значения максимальных от-
клонений осциллятора от точки равновесия в сторону положительных
значений x. Очевидно, что эти максимумы подчиняются рекуррентной
формуле A
n+1
= e
−γt
A
n
. Величина d = γT называется логарифмическим
декрементом затухания осциллятора. За период T амплитуда уменьша-
ется в exp(−d) раз. Если, как это часто бывает, d 1, то A
n+1
/A
n
≈ 1−d,
откуда следует, что относительное изменение амплитуды за период равно
логарифмическому декременту.
В современной теории колебаний более употребителен другой пара-
метр, характеризующий затухание в осцилля торе — добротность. Она
определяется через декремент с помощью формулы
1
.
Q =
π
d
=
ω
2γ
. (3.15)
Добротность и логарифмический декремент — безразмерные величины,
поэтому они характеризуют потери осциллятора более полно, нежели ко-
эффициент затухания. Два осциллятора с одинаковой добротностью теря-
ют одинаковую долю своей начальной энергии за одинаковые промежутки
времени, если измерять их в периодах T .
Из формулы (3.4) видно, что частота затухающих колебаний ω отли-
чается от параметра ω
0
в уравнении (1.1), однако это отличие мало для
систем со слабым затуханием, для которых выполняется условие γ ω
0
.
Используя его, выражение для ω можно представить в виде
ω = ω
0
(1 −γ
2
/ω
2
0
)
−1/2
≈ ω
0
[1 − γ
2
/(2ω
2
0
)] .
С той же точностью выражение для выражение для доброт ности записы-
вается как
Q =
ω
0
2γ
1 −
γ
2
ω
2
0
−1/2
≈
ω
0
2γ
1 −
γ
2
2ω
2
0
.
Отсюда видно, что Q ≈ ω
0
/(2γ), причем погрешность этой формулы со-
ставляет не более 0,5% при Q > 5.
1
Мы надеемся, что использование традиционного обозначения добротности через Q
не внесет путаницы ее с зарядом на обкладках конденсатора
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
