Составители:
Рубрика:
54
линейная комбинация
x(t) = C
1
e
p
1
t
+ C
2
e
p
2
t
(3.5)
(C
1,2
— константы) также является решением. В теории линейных диф-
ференциальных уравнений показано, что если p
1
6= p
2
, то формула (3.5)
дает общее решение. Константы C
1,2
находятся из начальных условий.
Предположим, что при t = 0 выполняются начальные условия x(0) = x
0
,
˙x(0) = v
0
, т.е. заданы координата и скорость осциллятора. Тогда обычным
образом из (3.5) получаем:
C
1
+ C
2
= x
0
, p
1
C
1
+ p
2
C
2
= v
0
. (3.6)
Решение системы уравнений (3.6) дает
C
1
=
p
2
x
0
− v
0
p
2
−p
1
, C
2
=
p
1
x
0
− v
0
p
1
− p
2
. (3.7)
Если выполнено условие слабого затухания, используя формулу (3.4),
будем иметь
C
1
=
1
2
x
0
+ i
v
0
+ γx
0
ω
,
C
2
=
1
2
x
0
− i
v
0
+ γx
0
ω
.
(3.8)
Обратим внимание, что C
1
= C
∗
2
. Такое соотношение должно выполняться
всегда, если x(t) — действительная функция. Подставляя формулы (3.8)
в (3.5), после простых преобразований приходим к окончательному вы-
ражению:
x(t) = e
−γt
x
0
cos ωt +
v
0
+ γx
0
ω
sin ωt
. (3.9)
Эта формула дает решение уравнения гармонического осциллятора с за-
туханием для заданных при t = 0 начальных условий. Напомним. что
если начальные условия ставятся в момент времени t
0
, то в (3.9) вместо t
следует написать t − t
0
.
Решение уравнения гармонического осциллятора можно также пред-
ставить в виде
x(t) = A
0
e
−γt
cos(ωt + ϕ
0
) , (3.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
