Составители:
Рубрика:
53
Рис. 3.1. Осциллятор с затуханием
имеет вид
L
¨
Q + R
˙
Q +
1
C
Q = 0 . (3.1)
После переобозначений ω
2
0
= 1/(LC), 2γ = R/(2L) это уравнение приво-
дится к виду (1.1). Коэффициент γ называется коэффициентом затухания.
Для механической осциллятора (грузик на пружинке) коэффициент за-
тухания равен γ = λ/(2m).
Для решения уравнения (1.1) воспользуемся общим методом решения
линейных однородных дифференциальных уравнений [2]. Будем искать
решение в виде x(t) = exp(pt) Подставляя x(t) в (1.1), проводя все диф-
ференцирования и сокращая на общий множитель exp(pt), получаем, что
предполагаемое решение действительно будет таковым, если параметр p
удовлетворяет уравнению
p
2
+ 2γp + ω
2
0
= 0 . (3.2)
Это уравнение называется характеристическим для уравнения (1.1). Оно
имеет два корня
p
1,2
= −γ ∓
q
γ
2
− ω
2
0
, (3.3)
которые либо действит ельны, если γ ≥ ω
0
, либо комплексно сопряжены
друг другу, если 0 < γ < ω
0
. Основной интерес для нас пока будет
представлять второй случай.
В этом режиме формулу (3.3) можно переписать в виде
p
1,2
= −γ ∓ iω , ω =
q
ω
2
0
− γ
2
. (3.4)
Корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости p. Двум кор-
ням характеристического уравнения соответствуют два решения x
1,2
=
= exp(p
1,2
t), поэтому, согласно принципу суперпозиции (см. главу 1), их
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
