Составители:
Рубрика:
64
С помощью усреднения можно получать полезные соотношения между
средними от различных физических величин. Выведем, например, усред-
ненный закон сохранения энергии для осциллятора с затуханием. Для
этого умножим уравнение (1.1) на 2 ˙x, воспользуемся тождествами 2x ˙x =
= dx
2
/dt и 2 ˙x¨x = d ˙x
2
/dt и учтем, что ω
2
0
= k/m, 2γ = λ/m. Полученное
в результате этих пре образований уравнение имеет вид
d
dt
m ˙x
2
2
+
kx
2
2
= −λ ˙x
2
. (3.25)
Оно имеет очевидный смысл: скорость изменения энергии осциллятора
равна мощности силы трения. Однако непосредственно в таком виде, это
соотношение мало пригодно для использования, поскольку все входящие
в него ве личины являются быстропеременными: за период T каждая успе-
вает дважды измениться от максимального значения до нуля и обратно.
Усредним уравнение (3.25), используя процедуру усреднения (3.21). То-
гда в правом части получается величина hP (t)i >, которая уже вычислена
нами, а при усреднении левой части можно переставить операции диф-
ференцирова ния и усреднения. В результате получаем
d
f
W
dt
= −2γ
f
W . (3.26)
Здесь мы воспользовались формулой (3.25) и тем, что λV
2
0
exp(−γt)/2 =
= 2γmV
2
0
exp(−γt)/2 = 2γ
f
W . Решая дифференциальное уравнение (3.26),
находим, что
f
W (t) =
f
W (0) exp(−2γt). Это соотношение показывает, что
средняя энергия уменьшается по экспоненте вдвое быстрее, чем ампли-
туда колебаний.
§ 3. Метод нормальных колебаний
Уравнение линейного гармонического осциллятора можно представить
в форме, отличающейся от (1.1). Такой переход производится с помо-
щью линейного преобразования от динамических переменных x и v к
новым переменным, которые выбираются так, чтобы получающиеся для
них уравнения имели бы максимально простой вид.
Прежде всего, запишем уравнение второго порядка (1.1) в виде двух
уравнений первого порядка, введя дополнительную переменную v:
˙x = v , ˙v = −ω
2
0
x − 2γv . (3.27)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
