Составители:
Рубрика:
66
Заметим, что если по физическому смыслу координата и скорость осцил-
лятора — действительные величины, то начальные значения нормальных
колебаний a(0) и a
?
(0) комплексно сопряжены друг другу. Тогда из ре-
шений (3.33) следует, что нормальные колебания будут сопряжены друг
другу и во все последующие моменты времени. В таком случае для описа-
ния динамики осциллятора достаточно одного из уравнений (3.31)-(3.32).
Поскольку нормальные колебание — комплексные функции, то число сте-
пеней свободы при переходе от уравнения (1.1) к уравнениям (3.31)-(3.32)
не уменьшается.
Из формул (3.33) следует, что колебанию a(t) соответствует комплекс-
ная собственная частота −ω + iγ, а колебанию a
?
(t) — собственная ча-
стота ω + iγ. Этим исчерпывается спектр собственных частот линейного
осциллятора с затуханием.
Запись уравнений осциллятора в форме нормальных колебаний ча-
сто значител ьно облегчает решение сложной задачи. Подобные примеры
рассмотрены в главе 5 (действие на осциллятор произвольной внешней
силы), главе 7 (параметрические колебания в двухконтурной схеме), гла-
ве 8 (связанные колебания системы большого ч исла осцилляторов).
До этого момента коэффициент α оставался неопреде ленным. Как уже
говорилось, поскольку уравнения линейны, его выбор обусловлен только
соображениями удобства. Часто просто считают α = 1, при рассмотрении
параметрических процессов принято выбирать α так, чтобы в пределе
нулевого затухания γ = 0 энергия осциллятора определялась выражением
W = ω
0
a
?
(t)a(t) . (3.34)
Тогда для каждого типа осциллятора коэффициент α получается свой.
Например для грузика на пружинке подставляя в (3.34) W = (mv
2
/2 +
+ kx
2
/2) и формулы (3.30), находим, что α =
p
k/(2ω
0
). В такой норми-
ровке нормальные колебания равны
a(t) =
r
k
2ω
0
x +
γ + iω
ω
2
0
v
,
a
?
(t) =
r
k
2ω
0
x +
γ − iω
ω
2
0
v
.
(3.35)
Для осцилляторов других типов легко получить аналогичные выражения.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
