Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

69
a
0
, a
00
и x, v (для упрощения формул считаем α = 1):
x = (a
0
−γa
00
/ω) , v = ω
2
0
a
00
/ω . (3.40)
Отсюда видно, что отображение плоскости (a
0
, a
00
) на плоскость (x, ˙x),
(dotx = v) является линейным преобразованием и качественный вид фа-
зовых траекторий при этом сохраняется (рис. 3.6,б). В случае малого
затухания (γ ω
0
) отображение близко к тождественному, поэтому для
высокодобротных осцилляторов можно считать, что фазовые траектории
на плоскости (x, v) близки к логарифмической спирали.
Положение равновесия линейного осциллятора с затуханием соответ-
ствует на фазовой плоскости особой точке типа фокус. Очевидно, что эта
особая точка устойчива, поскольку все траектории с течением времени
стремятся к ней. Устойчивый фокус является простейшим примером ат-
трактора. Аттрактором динамической системы называется множество
в фазовом пространстве, к которому стремятся все достаточно близкие
к нему траектории. Аттракторов в динамической системе общего вида
может быть много (в том числе и бе сконечно много) и их знание очень
важно, поскольку они определяют характер режима, который установится
в системе после переходного процесса.
§ 6. Осциллятор с сильным затуханием. Устойчивый узел
До сих пор рассматривался случай, когда затухание осциллятора не
очень велико (γ < ω
0
) и было показано, что при этом движение осцилля-
тора сохраняет черты колебательного процесса. Исследуем теперь случай
сильного затухания
4
γ > ω
0
.
Общее решение линейного дифференциального уравнения второго по-
рядка, полученное в § 1, пригодно и в этом случае. Корни характ еристиче-
ского уравнения, определяемые формулой (3.3), теперь оба действитель-
ные и отрицательные, причем |p
1
| > |p
2
|. Коэффициенты C
1,2
в общем
решении (3.5) равны
C
1
= −
|p
1
|x
0
− v
0
|p
1
| − |p
2
|
, C
2
=
|p
2
|x
0
− v
0
|p
1
| − |p
2
|
. (3.41)
Чтобы качественно установить характер д вижения, зададимся вопросом:
при каких начальных условиях система может пройти через положе-
ние равновесия? Другими словами, когда существует решение уравнения
4
Пограничный случай γ = ω
0
не представляет особого интереса, так как является
нетипичным: бесконечно малое изменение параметров нарушает это условие.

Страницы