Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

79
Она имеет решение, только если (p − a)(p − d) − bc = 0, или
p
2
− (a + d)p + ad − bc = 0, . (4.17)
Это характеристическое уравнение для системы (4.15). Его корни равны
p
1,2
=
1
2
S ±
p
S
2
− 4D
. (4.18)
где S = a + d — след матрицы коэффициентов
a b
c d
, а D — ее детерми-
нант.
В зависимости от значений величин S и D, возможны всего пять
различных случаев расположения корней p
1,2
на комплексной плоскости
p, и, соответственно, пять различных типов особых точек:
1) при S > 0,D > 0, S
2
< 4D два комплексно сопряженных корня
лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости p. Это случай
особой точки типа неустойчивый фокус (см. гл. 4, § 2);
2) при S > 0,D > 0, S
2
> 4D характеристическое уравнение имеет
два действительных положительных корня. Это особая точка типа
неустойчивый узел (гл. 4, § 2);
3) при S < 0,D > 0, S
2
< 4D два комплексно сопряженных корня
лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости p. Это случай
особой точки типа устойчивый фокус (гл. 3, § 5);
4) при S < 0,D > 0, S
2
> 4D характеристическое уравнение имеет
два действительных отрицательных корня. Это особая точка типа
устойчивый узел (гл. 3, § 6)
5) если D < 0, характеристическое уравнение имеет два действитель-
ных корня разных знаков, эта особая точка является седлом (гл. 2,
§ 5).
Расположение соответствующих областей на плоскости параметров
(S, D) показано на рис. 4.6.
Все остальные возможности соответствуют положению системы на
плоскости параметров на границах между областями, и сколь угодно ма-
лое их изменение приведет к тому, что точка, изображающая систему,
сместится в одну из этих областей. По этой причине такие ”граничные”
случаи не представляют физического интереса.
Исключением является случай, когда S = 0, D > 0. Из (4.18) следует,
что при этом p
1,2
= ±i
√
D и формально можно сделать вывод, что особая

Страницы