Составители:
Рубрика:
81
Линеаризованная вблизи нуля система ˙x = y, ˙y = −x, удовлетворяет
условию S = 0 и для обоих переменных легко получить уравнение кон-
сервативного осцилля тора. Тем не менее, в полной системе (4.19) закона
сохранения нет: если умножить первое уравнение на x, второе на y и
сложить их, то получим для величины r =
p
x
2
+ y
2
уравнение ˙r = −r
3
,
решение которого r(t) = [2t+1/r
2
(0)]
−1/2
. При t → ∞ получаем r(t) → 0,
следовательно закон сохранения для уравнений (4.19) отсутствует. Этот
пример еще раз иллюстрирует положение теоремы Ляпунова, уже упомя-
нутой на стр. 44.
Итак, если исходная система консервативная, то положение равнове-
сия, для которого S = 0, D > 0, является центром. На пло скости пара-
метров (S, D) этому случаю соответствует положите льная полуось D (см.
рис. 4.6). Казалось бы, можно вновь не обращать на этот случай особого
внимания, т.к. малое изменение параметров приведет к смещению систе-
мы с этой линии и превращению эллипса либо в устойчивый, либо в
неустойчивый фокус. Однако для консервативной системы этот аргумент
теряет силу. Если потребовать, чтобы при ”шевелении” параметров систе-
ма оставалась консервативной, то условие S = 0 должно сохраняться, это
значит, изображающая систему точка просто сместится вдоль оси D.
Перечисленные выше пят ь особых точек и дополнительно к ним центр
являются типичными: при произвольных случайно выбранных параметрах
динамической системы на плоскости, ее положения равновесия с вероят-
ностью единица окажутся одной из пяти особых точек. Если же система
второго порядка консервативная, то на ее фазовой плоскости в типичном
случае могут быть только седла и центры.
§ 4. Понятие бифуркации динамической системы
Пусть функции F и G в (4.13) кроме переменных x и y, зависят
еще от параметра λ. Выберем одну из неподвижных точек, и будем на-
блюдать за изменением характера фазовых траекторий вблизи нее при
изменении параметра. Если меняется λ, то будут меняться и коэффи-
циенты в линеаризова нной системе (4.15), значит на плоскости (S, D),
точка, отвечающа я текущим значениям параметра, будет двигаться вдоль
некоторой непрерывной линии (рис. 4.7. Пока точка находится внутри
одной из областей 1–5, небольшое изменение параметра не меняет типа
особой точки и характера траекторий близи нее. Если же система нахо-
дится на одной из границ этих областей (например, в одной из точек: A,
B, C) то малое изменение параметра приводит к изменению типа особой
точки и вида фазовых траекторий. Такое перестроение фазового портре-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
