Составители:
Рубрика:
80
Рис. 4.6. Области на плоскости параметров (S, D), в кото-
рых ре ализуются различные типы особых точек.
точка является центром. Оказывает ся, однако, что это не всегда так. Де-
ло в том, что условие S = 0 эквивалентно тому, что у линеаризова нной
системы (4.15) существует закон сохранения, т.е. она является консер-
вативной. Чтобы пока зать это, умножим перво е из уравнений (4.15) на
величину a − iω, где ω =
√
D =
√
−a
2
− cb (мы сразу учли, что a = −d),
а второе уравнение на b и сложим их. После простых преобразований
получаем
d
dt
[(a − iω)ξ + bη] = −iω [(a −iω)ξ + bη] .
Обозначив выражение в прямых скобках через новую переменную α, по-
лучаем для нее ˙α = −iωα. По виду это уравнение нормальных колебаний,
совпадающее с уравнением (3.31), если положить в нем γ = 0. Его реше-
ние есть α(t) = α(0) exp(−iωt), поэтому величина |α|
2
= (aξ + bη)
2
+ ω
2
ξ
2
сохраняется во времени.
Следовательно, траектории вблизи особой точки системы (4.15) имеют
вид вложенных д руг в друга эллипсов, и это центр. Однако наличие цен-
тра в линеаризованных уравнениях не означает, ч то особая точка имеет
тот же характер и в полных уравнениях (4.13). Возможны ситуации, ко-
гда закон сохранения появляется в результате процедуры линеаризации.
Подобным примером служит система [5]
˙x = y − x(x
2
+ y
2
) ,
˙y = −x − y(x
2
+ y
2
) .
(4.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
