Составители:
Рубрика:
95
консервативного осциллятора в резонансе бесконечна. На самом деле это
утверждение неверно и ошибка состоит в т ом, что вынужденное решение
(5.17) найдено в предположении, существования стационарных колебаний
с постоянной амплитудой, что в данном случае не выполняется. Чтобы
получить правильный ответ, следует действовать более аккуратно. Рас-
смотрим, например, осциллятор без затухания, который покоится и при
t = 0 на него начинает действовать сила F (t) = F
0
cos(pt + ψ
0
), причем
сначала p 6= ω
0
. Решение равно
x(t) = A cos ω
0
t + B sin ω
0
t +
F
0
ω
2
0
− p
2
cos(pt + ψ
0
)
Находя коэффициенты A и B из начальных условий, приводим эту фор-
мулу к виду
x(t) =
F
0
ω
2
0
− p
2
[cos(pt + ψ
0
) −cos(ω
0
t + ψ
0
)] −
F
0
ω
0
(ω
0
+ p)
sin ψ
0
sin ω
0
t .
При переходе к пределу p → ω
0
в первом слагаемом следует аккуратно
вычислить неопределенность типа 0/0, что дает
x(t) = −
F
0
2ω
2
0
sin ψ
0
sin ω
0
t +
F
0
t
2ω
0
sin(ω
0
t + ψ
0
), . (5.23)
Видно, что решение является суммой двух слагаемых, одно из кото-
рых ограничено, а второе соответствует колебанию с линейно растущей
во времени амплитудой. Таким образом, в любой момент времени реше-
ние остается конечным, однако колебания никогда не выходят на стаци-
онарный уровень. Через некоторое время второе слагаемое оказывается
преобладающим, в итоге получаются колебания с линейно растущей ам-
плитудой. В реальных системах, конечно, такое возрастание будет в кон-
це концов ограничено одним из неучтенных факторов: малым затуханием
или нелинейностью.
§ 5. Фазовые соотношения при резонансе
Исследуем теперь фазовые соотношения между вынуждающей силой
и откликом осциллятора. Сдвиг фазы между этими колебаниями задается
формулами (5.16). Из них, во-первых, следует, что при любой частоте
sin ψ < 0, т.е. −π < ψ < 0. Следовательно отклик всегда отстает по фазе
от воздействия. Во-вторых, из (5.16) следует, что
tg ψ =
−2γp
ω
2
0
− p
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
