Кинематика. Трухан Н.М. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4
криволинейной системы координат. Ортогональные
проекции V вектора скорости на оси q
⊥
i
q
i
равны
.
2
1
2
∂
∂
==
⊥
V
qH
eVV
ii
iq
i
(1.3)
Коэффициенты H
i
называются коэффициентами Ламе
и находятся из соотношения
,
iii
dqHdS
=
где dS
i
– дифференциал дуги i-й координатной линии при
изменении i-й координаты и фиксированных остальных.
В самом деле, в прямоугольной системе координат
dS
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
, (1.5)
но
.,,
3
1
3
1
3
1
∑∑∑
===
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
dq
q
z
dzdq
q
y
dydq
q
x
dx .
Подставляя значения dx, dy, dz в (1.5), получим
, (1.6)
∑∑
==
+=
3
1,
3
1
22
2
ki
kiik
i
ii
dqdqHdqHdS
где
.
kikiki
ik
q
z
q
z
q
y
q
y
q
x
q
x
H
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
Предполагая, что изменяется лишь одна координата, а две
другие фиксированы, получим (1.4), т.е. коэффициенты Ламе
получаются как множители дифференциалов координат в
выражениях для дифференциалов дуг соответствующих
координатных линий. Если система криволинейных
координат ортогональна, т.е. если при
k
i
≠
                                   4
криволинейной      системы    координат.      Ортогональные
проекции Vqi ⊥ вектора скорости на оси qi равны

                            1 ∂ V 2 
            Vq ⊥   = V ei =          .                           (1.3)
              i
                            H i ∂qi  2 
       Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ламе
и находятся из соотношения
                            dS i = H i dqi ,
где dSi – дифференциал дуги i-й координатной линии при
изменении i-й координаты и фиксированных остальных.
В самом деле, в прямоугольной системе координат
                         dS2 = dx2+ dy2+ dz2,       (1.5)
но
       3
            ∂x               3
                                ∂y               3
                                                    ∂z
 dx = ∑         dqi , dy = ∑        dqi , dz = ∑        dqi . .
       i =1 ∂qi            i =1 ∂qi            i =1 ∂qi



Подставляя значения dx, dy, dz в (1.5), получим
                      3                   3
            dS 2 = ∑ H i dqi +         ∑H
                              2    2
                                                  ik   dqi dqk ,   (1.6)
                     i =1              i , k =1

где
                  ∂x ∂x    ∂y ∂y   ∂z ∂z
        H ik =           +       +         .
                  ∂qi ∂qk ∂qi ∂qk ∂qi ∂q k
Предполагая, что изменяется лишь одна координата, а две
другие фиксированы, получим (1.4), т.е. коэффициенты Ламе
получаются как множители дифференциалов координат в
выражениях для дифференциалов дуг соответствующих
координатных линий. Если система криволинейных
координат ортогональна, т.е. если при i ≠ k

Страницы