Кинематика. Трухан Н.М. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
0
1
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
kikikiki
ki
q
z
q
z
q
y
q
y
q
x
q
x
HH
ee
, (1.7)
то H
ik
= 0 и .
3
1
22
2
∑
=
=
i
ii
dqHdS
Поэтому в случае ортогональной системы координат для
модуля вектора скорости получаем
.
3
1
22
∑
=
=
i
ii
qHV
(1.8)
Ортогональные проекции вектора ускорения
W точки на оси
произвольной криволинейной системы координат имеют вид
.
22
1
22
∂
∂
−
∂
∂
==
V
q
V
qdt
d
H
eWW
iii
iq
i
(1.9)
Как видно из формулы (1.9), проекции ускорения на
координатные оси q
i
получаются дифференцированием
выражения для квадрата скорости. При этом следует иметь в
виду, что
и независимы, что отражает факт
независимости событий: находиться в какой-либо точке
пространства и иметь в этой точке какую-либо скорость.
Кроме того, изучается не движение по некоторой заданной
траектории, а способ описания любых движений. Иначе
говоря, рассматривается вся совокупность допустимых
движений и выбор точки пространства задает только ее
положение, никак не ограничивая направление и величину
вектора скорости.
i
q
i
q
Задача 1.1.
Найти скорость движущейся точки и проекции ее
ускорения на касательные к координатным линиям
цилиндрической системы координат
z
r
,,
ϕ
(рис. 1).
Решение.
Так как система координат ортогональна, то 
                                             5

               1      ∂x ∂x    ∂y ∂y       ∂z ∂z 
ei ek =                     +           +            = 0 , (1.7)
              HiHk      ∂q
                       i k∂q   ∂q i
                                     ∂q k
                                            ∂q i
                                                 ∂q k 
                          3
                dS 2 = ∑ H i dqi .
                                  2          2
то Hik = 0 и
                         i =1
Поэтому в случае ортогональной системы координат для
модуля вектора скорости получаем
                                       3
                         V=           ∑H
                                                     2      2
                                                 i       q i .   (1.8)
                                      i =1

Ортогональные проекции вектора ускорения W точки на оси
произвольной криволинейной системы координат имеют вид
                        1        d ∂  V 2  ∂  V 2 
    Wq = W ei =                  dt ∂q  2  − ∂q  2 .      (1.9)
          i
                        Hi             i         i   
Как видно из формулы (1.9), проекции ускорения на
координатные оси qi получаются дифференцированием
выражения для квадрата скорости. При этом следует иметь в
виду, что qi и qi независимы, что отражает факт
независимости событий: находиться в какой-либо точке
пространства и иметь в этой точке какую-либо скорость.
Кроме того, изучается не движение по некоторой заданной
траектории, а способ описания любых движений. Иначе
говоря, рассматривается вся совокупность допустимых
движений и выбор точки пространства задает только ее
положение, никак не ограничивая направление и величину
вектора скорости.

Задача 1.1. Найти скорость движущейся точки и проекции ее
ускорения на касательные к координатным линиям
цилиндрической системы координат r ,ϕ , z (рис. 1).
Решение. Так как система координат ортогональна, то

Страницы