Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 123 стр.

А. Точечный источник.
      а) Потенциал.               Потенциал точечного источника однородного
пространства, с которого стекает ток силы J, равен
                                               Jρ
                              U 0 (r , z ) =       , R := r 2 + ( z − zd )2 ,     (3.1.1.1)
                                             4π R
где (0,0,zd) – координаты источника S, (r, ϕ, z)- координаты точки наблюдения
M.
      б) Электрическое поле. Так как
                                              E0 = − gradU 0 ,
то компоненты электрического поля равны
                                             ∂                  J ρ z − zd
                     Ez0 (r , z − zd ) = − U 0 (r , z − zd ) =               ,
                                            ∂z                  4π R3
                                               ∂                  Jρ r
                       Er0 (r, z − zd ) = − U 0 (r , z − zd ) =            .
                                              ∂r                  4π R3
Известно, что
                       ∞
                     2                                  1
                       ∫  K0 (λ r )cos λζ d λ =               .                   (3.1.1.2)
                     π0                              r +ζ 2
                                                      2

На основании этого интеграла получим интегральные представления для
потенциала и компонент электрического поля
                                                  ∞
                                  Jρ Jρ 2
                                                    K (λ r )cos λ ( z − zd )d λ ,
                                 4π R 4π π ∫0 0
                   U (r , z ) =
                     0
                                        =
                                               ∞
                                 ∂U 0 I ρ 2
                                              K (λ r )λ sin λ ( z − zd )d λ ,
                                       4π π ∫0 0
                       Ez0 = −       =
                                  ∂z
                                               ∞
                               ∂U 0 I ρ 2
                                                K (λ r )λ cos λ ( z − zd )d λ.
                                       4π π ∫0 1
                       Er0=−         =
                                ∂r
Б. Электрический диполь.
      а) Потенциал. Потенциал диполя равен производной по направлению оси
диполя (по оси z) в направлении от электрода B, к которому ток притекает (на
рисунке помечен знаком «–») к электроду А, с которого ток стекает (на рисунке
помечен знаком «+»), умноженной на момент диполя I = Jdz :
                                Iρ         →     →      I ρ z − zd        ∂
               U d0 (r , z ) =        cos( BA , SM  )=               = − U 0 (r , z )dz,
                               4π R 2
                                                        4π R    3
                                                                          ∂z
где
                                                  z − zd
                                        cosθ :=          .
                                                    R
Примем
                                            ζ := z − zd .
              б) Электрическое поле. Электрическое поле диполя равно

                     ∂U d0     Iρ           ζ2             ∂U d0     I ρ rζ
            Ez0   =−       =−        (1 − 3    ) , E 0
                                                       = −       = −        .
                      ∂z      4π R 3        R2      r
                                                            ∂z       4π R5
На экваторе диполя (z = zd) имеем (сравни [Ваньян, 1965, с. 37])
                                                   123