Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 125 стр.

      Первый «слой» соответствует самой скважине, заполненной буровым
раствором с сопротивлением ρ1 = 1 омм и имеющей радиус а = 0.1 м. При
выполнении расчетов параметры этого слоя не будут изменяться.
      Второй слой соответствует металлической обсадной трубе, обладающей
очень низким сопротивлением порядка ρ2 = 4.5 10-7 омм и толщиной h = 0.01 м.
При вычислениях толщину обсадной трубы менять не будем, а сопротивлением
будем варьировать.
      Третий слой бесконечной мощности имеет сопротивление ρ3 =10 омм.
Его иногда называют «вмещающей средой». Если при выполнении вычислений
сопротивление вмещающей среды будет иметь иные значения, будем
акцентировать на этом внимание.
      Замечание. Если в далее в тексте и подписях к рисункам параметры
модели среды будут соответствовать значениям «по умолчанию», то это
специально оговариваться не будет.
      Цель исследований состоит в изучении искажающего влияния
обсаженной скважины на электромагнитное поле в точках, находящихся во
вмещающей среде.
     Точечный источник.
      а) Потенциал. Постановка задачи применительно к каротажу и ее
решение можно найти в работе [Кауфман, 1997].
      Потенциал U точечного источника не зависит от φ и является четной
функцией относительно ζ :
                                U (r ,ζ ) = U (r , −ζ ) .
Математическая      постановка     задачи.   Найти    функцию   U (r , z ) ,
удовлетворяющую следующим условиям.
1. Внутри скважины в области, не содержащей источник, и в произвольной
   точке вне скважины потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
                                 ∆U = 0 .
2. Вблизи токового электрода в скважине потенциал U1 стремится к
   потенциалу однородного пространства
                                    J ρ1
                             U1 →        , R → 0.
                                    4π R
3. В любом слое потенциал равномерно стремится к нулю при
   R → ∞ (потенциал регулярен на бесконечности).
4. На границах разрыва свойств среды должны выполняться условия
   сопряжения,     обеспечивающие         непрерывность   потенциала          и
   перпендикулярной к границе (нормальной) компоненты плотности тока
                                        ∂U 
                             [U ] = 0, σ    =0.
                                        ∂r 
      Решение задачи. Учитывая четность потенциала относительно
переменной ζ , применим к задаче косинус-преобразование Фурье Fc (U (⋅, ζ )) по
этой переменной. Обозначим


                                       125