Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 126 стр.

                                                     ∞
                     Fc (U (r , ζ )) := U (r , λ ) = ∫ U (r ,ζ )cos(λς )dζ , r > 0,
                                                     0
Так как
                    ∂ 2U (r , ζ )  ∞ ∂ 2U (r , ζ )
                Fc                =∫               cos(λζ )d ζ = −λ 2U (λ , ζ ),
                       ∂ζ  2
                                    0    ∂ζ  2


                    ∂ kU ( r , ζ )  ∞ ∂ kU ( r , ζ )               d kU (λ , ζ )
                Fc 
                        ∂r k
                                     =
                                     0
                                        ∫ ∂r k         cos(λζ )d ζ =
                                                                         dr k
                                                                                   , k = 1,2,

то
                                         ∂ 2U 1 ∂U ∂ 2U         d 2U 1 dU
               Fc ( ∆U (r , ζ )   = Fc  2 +      +             =    +      − λ 2U .
                                         ∂r   r ∂r ∂ζ 2          dr
                                                                      2
                                                                          r dr
В области изображений придем к задаче
                                   
                                    d 2U 1 dU
                                    2 + r dr − λ U = 0, r > 0;
                                                             2

                                    dr
                                                 dU 
                                    U  = 0, σ          = 0;                              (3.1.1.3)
                                                  dr 
                                    
                                     ∂U ( r , λ )
                                     ∂r                 = 0;U (r, λ ) → 0, r → ∞.
                                                  r =0
Частными решениями обыкновенного дифференциального уравнения задачи
являются модифицированные функции Бесселя I 0 (λ r ), K 0 (λ r ) . Общее решение
является линейной комбинацией этих частных решений:
                               U (r , λ ) = C (λ ) I 0 (λ r ) + D(λ ) K 0 (λ r ) .
Формально в каждом однородном k-том слое решение имеет вид
               U k (r , λ ) = Ck (λ ) I 0 (λ r ) + Dk (λ ) K0 (λ r ), k = 1,..., n.        (3.1.1.4)
Здесь Ck (λ ), Dk (λ ) - неопределенные коэффициенты, не зависящие от r. Так
будет выглядеть решение в каждом ограниченном по толщине (мощности) слое,
т.е. при k =2,..., n-1. Отдельно рассмотрим решения в скважине (k = 1),
содержащей источник, и в последнем слое (с номером n), в котором величина r
может принимать сколь угодно большие значения.
      Решение в первом слое (скважине), содержащем источник, представим в
виде суммы потенциала точечного источника в пространстве со свойствами
первого слоя и аномальной части потенциала, учитывающего влияние
цилиндрически-слоистой среды:
                                  U1(r ,ζ ) = U1(0) (r, ζ ) + U1(a ) (r ,ζ ),
где
                                             J ρ1        2
                                                            ∞
                                                                                    J ρ1
          U1 (r ,ζ ) = U1 (r, ζ ) =
             (0)              (0)
                                                   = q ∫ K0 (λ r )cos λζ d λ , q :=      ,
                                            4π R         π0                         4π
а функция U1( a ) (r , ζ ) всюду внутри скважины ограничена и удовлетворяет
уравнению Лапласа. Величина K 0 (λ r ) при r → 0 неограниченно возрастает,

                                                     126