Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 127 стр.

поэтому в формуле (3.1.1.4) коэффициент D1 нужно принять равным 0. Итак,
косинус-преобразование функции U1( a ) (r , ζ ) равно
                                            U1( a) (r , λ ) = C1I 0 (λ r ) .
Окончательно получим
                        U1 (r , λ ) = C1I 0 (λ r ) + K 0 (λ r ) .                                                                  (3.1.1.5)
Это дает основание записать решение в скважине радиуса r1 = a
              ∞
 U1(r , z ) = q ∫ [C1(λ ) I0 (λ r ) + K 0 (λ r )]cos(λζ )d λ , 0 < r < a, z ∈ .                                                    (3.1.1.6)
              0
или
                                           1 ∞                              
                                            R 0
                                                        ∫
                           U1 (r , z ) = q  + C1 (λ ) I 0 (λ r )cos(λζ )d λ  .
                                                                             
Решение а k-том слое принимает вид
                                 ∞
                  U k (r , z ) = q ∫ [Ck (λ ) I0 (λ r ) + Dk (λ ) K 0 (λ r )]cos(λζ )d λ .                                         (3.1.1.7)
                                 0
     В последнем n-том слое бесконечной мощности решение должно быть
ограниченным, поэтому в (3.1.1.4) коэффициент Cn нужно положить равным 0
                                     U n (r , λ ) = Dn K 0 (λ r ) ,                                                                (3.1.1.8)
следовательно,
                                            ∞
                          U n (r , z ) = q ∫ Dn (λ ) K0 (λ r )cos(λζ )d λ .                                                        (3.1.1.9)
                                            0
      В вычислительном отношении общее решение задачи целесообразно
записать в несколько ином виде, используя две линейно независимые функции,
построенные из линейной комбинации модифицированных функций Бесселя.
Этим мы хотим:
1. улучшить устойчивость вычислений,
2. уменьшить в два раза количество уравнений для вычисления
   неопределенных     коэффициентов         и     сделать     матрицу системы
   трехдиагональной,
3. придать неопределенным коэффициентам содержательный характер: они
   будут являться значениями потенциала на границах разрыва свойств среды
                                (на границах цилиндрических слоев) в точках
                                 r = rk , k = 1,2,..., n −1 .

                                                     Пусть такими функциями в каждом
                                                цилиндрическом k-том слое (k = 2,...,n-1)
                                                конечной мощности будут
                                                                                     I 0 (λ r ) K 0 (λ rk ) − I 0 (λ rk ) K 0 (λ r )
                                                q1,k (λ , rk −1 , rk , r ) :=                                                            , rk −1 ≤ r ≤ rk ;
                                                                                 I 0 (λ rk −1 ) K 0 (λ rk ) − I 0 (λ rk ) K 0 (λ rk −1 )
                                                                                  I 0 (λ rk −1 ) K 0 (λ r ) − I 0 (λ r ) K 0 (λ rk −1 )
                                                q2, k (λ , rk −1 , rk , r ) :=                                                           , rk −1 ≤ r ≤ rk .
                                                                                 I 0 (λ rk −1 ) K 0 (λ rk ) − I 0 (λ rk ) K 0 (λ rk −1 )
              Рис. 3.3
                                                               127