Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 128 стр.

          .
Очевидны основные свойства этих функций (см. рис. 3.3).
     Свойство 1. Функции q1,k и q2,k линейно независимы и являются
решениями уравнения Бесселя задачи (3.1.1.3).
     Свойство 2. Имеют место равенства
         q1,k (λ , rk −1, rk , rk −1) = 1, q1,k (λ , rk −1, rk , rk ) = 0;
         q2,k (λ , rk −1, rk , rk −1) = 0, q1,k (λ , rk −1, rk , rk ) = 1.

         Свойство 3. Множество значений функций принадлежит отрезку [0,1]
                      0 ≤ q1,k (λ , rk −1, rk , r ), q2,k (λ , rk −1, rk , r ) ≤ 1.

         Производные по r равны
                                                         I1 (λ r ) K 0 (λ r2 ) + I 0 (λ rk ) K1(λ r )
                          ′ (λ , rk −1, rk , r ) = λ
                         q1,2                                                                              ,
                                                     I0 (λ rk −1 ) K 0 (λ rk ) − I 0 (λ rk ) K0 (λ rk −1 )
                                                          I (λ r ) K (λ r ) + I1(λ r ) K0 (λ rk −1 )
                          ′ (λ , rk −1, rk , r ) := −λ 0 k −1 1
                         q2,2                                                                                  ,
                                                        I 0 (λ rk −1) K 0 (λ rk ) − I 0 (λ rk ) K 0 (λ rk −1 )
         причем
                                                                                  1
                      ′ (λ , rk −1, rk , rk ) =
                     q1,2                                                                                         ,
                                                    rk  I0 (λ rk −1 ) K 0 (λ rk ) − I0 (λ rk ) K 0 (λ rk −1) 
                                                                                        −1
                      ′ (λ , rk −1, rk , rk −1) :=
                     q2,2                                                                                                  .
                                                        rk −1  I 0 (λ rk −1 ) K 0 (λ rk ) − I 0 (λ rk ) K0 (λ rk −1 ) 
         Пусть
                                       U k −1 := U k (r , λ )                , U k := U k (r , λ )            ,
                                                                  r =rk −1                           r = rk
тогда решение задачи в k-том слое будет иметь вид
           U k (r , λ ) = U k −1 q1,k (λ , rk −1, rk , r ) + U k q2,k (λ , rk −1, rk , r ) .                               (3.1.1.41)
Из свойства 2 функций q1,k и q2,k следует
                      U k (rk −1, λ ) = U k −1 , U k (rk , λ ) = U k .
Решения в скважине и последнем слое представим в следующем виде
                                             U1 − K 0 (λ r1 )
                            U1 ( r , λ ) =                    I 0 (λ r ) + K 0 (λ r ), 0 < r ≤ r1 ;                        (3.1.1.51)
                                                I 0 (λ r1 )
                                   K 0 (λ r )
                            U n (r , λ ) = U n−1, r ≥ rn−1.                                                                (3.1.1.61)
                                  K 0 (λ rn−1 )
Здесь использованы обозначения
                     U1 := U1 (r1, λ ),       U n−1 := U n (rn−1, λ ).
Очевидно




                                                                 128