Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

130
10 0 20
11 1 1 221
()() () (),
[()( ) ( )] ( ).
CIaKaDKa
CIaKa DKa
λλ λ λ
σ
λλ λ σ λ
+=
−=−
Решеним системы по правилу Крамера. Определитель системы и
коэффициенты равны
2201110
I
KIK
σ
σ
∆= +
,
112012
()( )()()/CKaKa
λ
σσ λ λ
=− ∆
, (3.1.1.10
1
)
1
2
2
()D
a
σ
λ
λ
=
∆
. (3.1.1.10
2
)
Решение в двухслойной среде дают формулы (3.1.1.6) и (3.1.1.8).
Для плотности тока в скважине из (3.1.1.6) получим
1
11 1 10
3
0
(, ) ( ) ( )sin( ) .
zz
U
jrz E q C I r d
z
R
ζ
σ
σσ λλλλζλ
∞
∂
==− = +
∂
∫
(3.1.1.10
3
)
Здесь
1
11
44
I
I
q
σσ
π
π
==
.
Алгоритм 2. Воспользуемся формулами (3.1.1.5
1
)- (3.1.1.6
1
).
Относительно
1
U
получим уравнение
101
111112111
01 01
()
1
() () ()
() ()
UK r
Ir Kr U Kr
Ir Kr
λ
σλλσ λ
λλ




−
−=−
.
Из него найдем
1
U
111101 20111 101 0111 1101
.
()() ()() () ()() ()()U I rK r I rK r K r K rI r K rI r
σλ λ σ λ λ σ λ λ λ λ λ


+= +
Т
ак как
0111 1101 1
()() ()()1/KrIrKrIr r
λ
λλλλ
+=
, то
1
1
11 01
111 1 0 1 20 1 1 1
1
(,) ( )
()() ()()
rr
UU r K r
rIrKr IrKr
σ
λ
λ
λσ λ λ σ λ λ
=
≡=
+

.
Подстановка (3.1.1.10
2
) в (3.1.1.8) при
1
rr
=
дает тот же результат.
3.1.4. Частный случай. Трехслойная среда
Рассмотрим решение задачи для трехслойной среды, соответствующей
обсаженной скважине, расположенной в проводящей вмещающая среде
.
Параметры модели:
Слой 1. Скважина: радиус а, сопротивление
ρ
1.
Слой 2. Обсадная труба: толщина h, сопротивление
ρ
2
.
Слой 3. Вмещающая среда: сопротивление
ρ
3
.
Алгоритм 1. Аналогично (3.1.1.10) получим систему уравнений
относительно коэффициентов С
1
, С
2
, D
2,
D
3
: 
                                 C1 (λ ) I 0 (λ a) + K 0 (λ a ) = D2 K 0 (λ a),
                                  
                                  σ 1[C1 (λ ) I1 (λ a ) − K1 (λ a )] = −σ 2 D2 K1 (λ a ).
Решеним системы по правилу Крамера. Определитель системы и
коэффициенты равны
                            ∆ 2 = σ 2 I 0 K1 + σ1I1K0 ,
                    C1 (λ ) = (σ 1 − σ 2 ) K 0 (λ a ) K1 (λ a ) / ∆ 2 ,                                                (3.1.1.101)
                                                                              σ1
                                                             D2 (λ ) =                  .                              (3.1.1.102)
                                                                             λ a∆ 2
Решение в двухслойной среде дают формулы (3.1.1.6) и (3.1.1.8).
Для плотности тока в скважине из (3.1.1.6) получим
                                          ζ    ∞                                
                                ∂U
      jz (r , z ) = σ 1Ez = −σ 1 1 = σ 1q  3 + ∫ λC1 (λ ) I 0 (λ r )sin(λζ )d λ  .                                   (3.1.1.103)
                                 ∂z        R  0                                
Здесь
                                               Iρ      I
                                     σ1q = σ1 1 =         .
                                               4π 4π
      Алгоритм            2.    Воспользуемся      формулами              (3.1.1.51)-                                  (3.1.1.61).
Относительно U1 получим уравнение
                        U − K (λ r )                                                        1                 
                   σ1    1   0    1
                                                I1(λ r1) − K1(λ r1)  = σ 2  −U1                      K1(λ r1 )  .
                           I 0 (λ r1 )                                                K0 (λ r1 )           
Из него найдем U1
U1 σ 1I1 (λ r1 ) K0 (λ r1 ) + σ 2 I 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) = σ 1K0 (λ r1 )  K 0 (λ r1 ) I1 (λ r1) + K1(λ r1) I 0 (λ r1)  . Т
ак как K 0 (λ r1) I1(λ r1 ) + K1 (λ r1 ) I 0 (λ r1 ) = 1/ λ r1 , то
                                                σ1                            1
               U1 ≡ U1 (λ , r )             =                                                            K (λ r ) .
                                   r = r1       λ r1 σ 1I1 (λ r1 ) K 0 (λ r1) + σ 2 I0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) 0 1
         Подстановка (3.1.1.102) в (3.1.1.8) при r = r1 дает тот же результат.


3.1.4. Частный случай. Трехслойная среда

     Рассмотрим решение задачи для трехслойной среды, соответствующей
обсаженной скважине, расположенной в проводящей вмещающая среде.
Параметры модели:
Слой 1. Скважина: радиус а, сопротивление ρ1.
Слой 2. Обсадная труба: толщина h, сопротивление ρ2.
Слой 3. Вмещающая среда: сопротивление ρ3.
     Алгоритм 1. Аналогично (3.1.1.10) получим систему уравнений
относительно коэффициентов С1, С2, D2, D3 :




                                                                  130

Страницы